2 - Uma linha de transmissão com
e
tem
de comprimento e alimenta uma carga de
. A linha é alimentada por um gerador com tensão eficaz
e impedância de saída de
. Calcular:
c) o comprimento mínimo do toco (stub) a ser ligado a
da carga de modo a fazer o casamento de impedância.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem começar a resolver ainda).
-
Dados fornecidos:
- Impedância característica da linha:
. - Constante de propagação:
. Como o número de atenuação é zero, . - Comprimento total da linha:
(informação dada, mas para esta letra não será necessária diretamente). - Carga na extremidade:
. - O stub (toco) será ligado a
da carga (isto é, medido a partir da carga em direção ao gerador). - Gerador: tensão eficaz
e impedância interna . (Para a letra (c) do enunciado só precisamos saber que vamos fazer casamento na linha; os dados do gerador servem para contexto.)
- Impedância característica da linha:
-
O que o enunciado pede na letra (c):
- Calcular o comprimento mínimo do stub (toco) que deve ser ligado em paralelo no ponto a
da carga, de modo a obter casamento de impedância.
- Calcular o comprimento mínimo do stub (toco) que deve ser ligado em paralelo no ponto a
Passo 2
Entender e calcular quantidades elétricas básicas da linha (ensino rapidinho: relação entre
e comprimento de onda).
- Para uma linha lossless (aqui
puramente imaginário) tem-se , onde é o comprimento de onda. - Calculando
: Então . (Dica: bom pensar em termos de fração de quando trabalhar com comprimentos de linha.)
Passo 3
Explicar o conceito de impedância/admitância normalizada e calcular a admitância normalizada da carga.
- É conveniente normalizar impedâncias pela impedância característica:
Aqui: Assim a admitância normalizada na carga é .
Passo 4
Explicar como transformar a admitância ao longo de uma linha lossless e calcular a admitância normalizada no ponto onde o stub será ligado.
-
Fórmula (para linha sem perdas) que transforma admitância
afastando-se da carga por distância : Aquié a admitância normalizada no ponto a distância da carga (no sentido em direção ao gerador).
Explicando as variáveis:é a constante de fase (rad/m), é a distância em metros; e aparecem porque a linha transforma impedâncias por rotações no círculo trigonométrico. -
No problema,
. Calcular : Calculare (vou manter 4 casas decimais suficientes):
Passo 5
Substituir na fórmula e fazer a divisão complexa passo a passo (mostrando como executar na prova sem calculadora com aproximações simples).
- Numerador:
- Denominador:
- Dividir complexos:
.
Multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador para achar parte real e imaginária:Calculando as partes:
- Conclusão numérica:
Interpretação: a admitância normalizada no ponto onde o stub será conectado tem condutância e susceptância .
(Dica didática: em provas, ao encontrar
isso é uma situação ideal para usar um stub em derivação, porque o stub só fornece susceptância imaginária e não altera a parte real.)
Passo 6
Explicar o princípio de casamento com stub paralelo e as expressões de susceptância de um stub curto-circuitado e aberto.
- Quando se tem
no ponto de conexão do stub, e se (isto é, normalizado), basta adicionar um stub em paralelo que forneça susceptância para anular a parte imaginária. O resultado será (normalizado), que corresponde à impedância : casamento perfeito com a linha característica. - Fórmulas (normalizadas a
): - Stub curto-circuitado de comprimento
: (Explicação: entrada de um stub curto é , então a admitância normalizada é .) - Stub aberto de comprimento
: (Explicação análoga: entrada de um stub aberto é .)
- Stub curto-circuitado de comprimento
- No nosso caso o valor necessário de susceptância normalizada do stub é:
Passo 7
Calcular o comprimento mínimo do stub: trabalhar primeiro com stub curto-circuitado (normalmente fornece a menor solução) e mostrar também a alternativa abreviada para stub aberto.
-
Para stub curto somos obrigados a satisfazer:Resolvo para
: EntãoEste é um comprimento positivo e menor que(note ), portanto é uma solução física e, sendo a menor solução positiva, é o comprimento mínimo para o stub curto-circuitado. -
(Para referência, se fosse stub aberto, resolveríamos
. Uma solução positiva mínima dá e resulta em , que é maior. Portanto o menor comprimento entre as opções é o do stub curto: .)
Passo 8
Resumo final do raciocínio (curto e motivador): achamos que o ponto onde o stub foi ligado tinha admitância normalizada
. Como a condutância já era
, bastou um stub que fornecesse
. Um stub curto-circuitado de comprimento
faz exatamente isso e é a solução de menor comprimento positivo.