2 - Uma linha de transmissão com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,2 \pi \mathrm{~m}^{-1} tem 31,25 \mathrm{~m} de comprimento e alimenta uma carga de 100 \Omega. A linha é alimentada por um gerador com tensão eficaz 253 \mathrm{~V}_{r m s} e impedância de saída de 40+\mathrm{j} 30 \Omega. Calcular:
c) o comprimento mínimo do toco (stub) a ser ligado a 1,52 \mathrm{~m} da carga de modo a fazer o casamento de impedância.
1,52 \mathrm{mN}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem começar a resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Impedância característica da linha: \,Z_{0}=50\\ \Omega.
    • Constante de propagação: \gamma=\mathrm{j}\,0{,}2\pi\\ \mathrm{m}^{-1}. Como o número de atenuação é zero, \beta=0{,}2\pi\\ \mathrm{m}^{-1}.
    • Comprimento total da linha: 31{,}25\\ \mathrm{m} (informação dada, mas para esta letra não será necessária diretamente).
    • Carga na extremidade: Z_{L}=100\\ \Omega.
    • O stub (toco) será ligado a 1{,}52\\ \mathrm{m} da carga (isto é, medido a partir da carga em direção ao gerador).
    • Gerador: tensão eficaz 253\\ \mathrm{V}_{\text{rms}} e impedância interna Z_{s}=40+\mathrm{j}\,30\\ \Omega. (Para a letra (c) do enunciado só precisamos saber que vamos fazer casamento na linha; os dados do gerador servem para contexto.)
  • O que o enunciado pede na letra (c):
    • Calcular o comprimento mínimo do stub (toco) que deve ser ligado em paralelo no ponto a 1{,}52\\ \mathrm{m} da carga, de modo a obter casamento de impedância.

Passo 2

Entender e calcular quantidades elétricas básicas da linha (ensino rapidinho: relação entre \beta e comprimento de onda).
  • Para uma linha lossless (aqui \gamma puramente imaginário) tem-se \beta=2\pi/\lambda, onde \lambda é o comprimento de onda.
  • Calculando \lambda: \beta=0{,}2\pi\\ \mathrm{m}^{-1}=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{2\pi}{0{,}2\pi}=10\\ \mathrm{m}.Então \lambda=10\\ \mathrm{m}. (Dica: bom pensar em termos de fração de \lambda quando trabalhar com comprimentos de linha.)

Passo 3

Explicar o conceito de impedância/admitância normalizada e calcular a admitância normalizada da carga.
  • É conveniente normalizar impedâncias pela impedância característica: z_L=\frac{Z_L}{Z_0},\qquad y_L=\frac{1}{z_L}=\frac{Z_0}{Z_L}.Aqui: z_L=\frac{100}{50}=2,\qquad y_L=\frac{1}{2}=0{,}5.Assim a admitância normalizada na carga é \,y_L=0{,}5+j0.

Passo 4

Explicar como transformar a admitância ao longo de uma linha lossless e calcular a admitância normalizada no ponto onde o stub será ligado.
  • Fórmula (para linha sem perdas) que transforma admitância y_L afastando-se da carga por distância d:
    y(d)=\frac{y_L\cos(\beta d)+\mathrm{j}\sin(\beta d)}{\cos(\beta d)+\mathrm{j}y_L\sin(\beta d)}.
    Aqui y(d) é a admitância normalizada no ponto a distância d da carga (no sentido em direção ao gerador).
    Explicando as variáveis: \beta é a constante de fase (rad/m), d é a distância em metros; \cos e \sin aparecem porque a linha transforma impedâncias por rotações no círculo trigonométrico.
  • No problema, d=1{,}52\\ \mathrm{m}. Calcular \beta d:
    \beta d = 0{,}2\pi\times 1{,}52 = 0{,}304\pi\\ \text{rad}\approx 0{,}95493\\ \text{rad}.
    Calcular \cos(\beta d) e \sin(\beta d) (vou manter 4 casas decimais suficientes):
    \cos(\beta d)\approx 0{,}5770,\qquad \sin(\beta d)\approx 0{,}8167.

Passo 5

Substituir na fórmula e fazer a divisão complexa passo a passo (mostrando como executar na prova sem calculadora com aproximações simples).
  • Numerador: y_L\cos(\beta d)+\mathrm{j}\sin(\beta d) =0{,}5\times 0{,}5770 + \mathrm{j}\,0{,}8167 =0{,}2885 + \mathrm{j}\,0{,}8167.
  • Denominador: \cos(\beta d)+\mathrm{j}y_L\sin(\beta d) =0{,}5770 + \mathrm{j}\,(0{,}5\times 0{,}8167) =0{,}5770 + \mathrm{j}\,0{,}4084.
  • Dividir complexos: y(d)=\dfrac{0{,}2885+\mathrm{j}0{,}8167}{0{,}5770+\mathrm{j}0{,}4084}.
    Multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador para achar parte real e imaginária: |\,\text{denom}\,|^2=0{,}5770^{2}+0{,}4084^{2}\approx 0{,}4994 \approx 0{,}5.Calculando as partes: \Re\{y(d)\}=\frac{0{,}2885\cdot 0{,}5770 + 0{,}8167\cdot 0{,}4084}{0{,}4994}\approx\frac{0{,}1665+0{,}3335}{0{,}4994}\approx 1{,}00,
\Im\{y(d)\}=\frac{0{,}8167\cdot 0{,}5770 - 0{,}2885\cdot 0{,}4084}{0{,}4994}\approx\frac{0{,}4710-0{,}1178}{0{,}4994}\approx 0{,}7071.
  • Conclusão numérica: y(d)\approx 1 + \mathrm{j}\,0{,}7071.Interpretação: a admitância normalizada no ponto onde o stub será conectado tem condutância g=1 e susceptância b=+0{,}7071.
(Dica didática: em provas, ao encontrar \Re\{y\}=1 isso é uma situação ideal para usar um stub em derivação, porque o stub só fornece susceptância imaginária e não altera a parte real.)

Passo 6

Explicar o princípio de casamento com stub paralelo e as expressões de susceptância de um stub curto-circuitado e aberto.
  • Quando se tem y= g + \mathrm{j}b no ponto de conexão do stub, e se g=1 (isto é, G=1/Z_0 normalizado), basta adicionar um stub em paralelo que forneça susceptância -b para anular a parte imaginária. O resultado será y_{\text{total}}=1 (normalizado), que corresponde à impedância Z_0: casamento perfeito com a linha característica.
  • Fórmulas (normalizadas a 1/Z_0):
    • Stub curto-circuitado de comprimento l: y_{\text{stub}} = -\mathrm{j}\cot(\beta l).(Explicação: entrada de um stub curto é Z_{\text{in}}=\mathrm{j}Z_0\tan(\beta l), então a admitância normalizada é 1/(j\tan)= -\mathrm{j}\cot.)
    • Stub aberto de comprimento l: y_{\text{stub}} = \mathrm{j}\tan(\beta l).(Explicação análoga: entrada de um stub aberto é Z_{\text{in}}=-\mathrm{j}Z_0\cot(\beta l).)
  • No nosso caso o valor necessário de susceptância normalizada do stub é: b_{\text{stub}} = -\Im\{y(d)\} = -0{,}7071.

Passo 7

Calcular o comprimento mínimo do stub: trabalhar primeiro com stub curto-circuitado (normalmente fornece a menor solução) e mostrar também a alternativa abreviada para stub aberto.
  • Para stub curto somos obrigados a satisfazer:
    -\cot(\beta l) = -0{,}7071 \quad\Rightarrow\quad \cot(\beta l)=0{,}7071.
    Resolvo para \beta l:
    \beta l = \operatorname{arccot}(0{,}7071)=\arctan\!\left(\frac{1}{0{,}7071}\right)=\arctan(1{,}4142)\approx 0{,}95532\\ \text{rad}.
    Então
    l=\frac{0{,}95532}{\beta}=\frac{0{,}95532}{0{,}2\pi}=\frac{0{,}95532}{0{,}628319}\approx 1{,}52\\ \mathrm{m}.
    Este é um comprimento positivo e menor que \lambda/2 (note \lambda/2=5\\ \mathrm{m}), portanto é uma solução física e, sendo a menor solução positiva, é o comprimento mínimo para o stub curto-circuitado.
  • (Para referência, se fosse stub aberto, resolveríamos \tan(\beta l)=-0{,}7071. Uma solução positiva mínima dá \beta l\approx \pi-0{,}61548 e resulta em l\approx 4{,}02\\ \mathrm{m}, que é maior. Portanto o menor comprimento entre as opções é o do stub curto: 1{,}52\\ \mathrm{m}.)

Passo 8

Resumo final do raciocínio (curto e motivador): achamos que o ponto onde o stub foi ligado tinha admitância normalizada 1+\mathrm{j}0{,}7071. Como a condutância já era 1, bastou um stub que fornecesse -\mathrm{j}0{,}7071. Um stub curto-circuitado de comprimento 1{,}52\\ \mathrm{m} faz exatamente isso e é a solução de menor comprimento positivo.

Resposta

l_{\text{min}}=1{,}52\\ \mathrm{m}

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