A distribuição
dos salários, em s.m., dos operários do sexo masculino de uma grande empresa é tal que
; e a distribuição
dos salários do sexo feminino é tal que
. Sorteiam-se duas amostras casuais simples, uma
com 16 homens e outra
com 25 mulheres. Que tamanho comum deverá ter ambas as amostras para que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos duas distribuições normais que representam os salários de operários masculinos e femininos em uma empresa grande. A distribuição dos salários dos homens é $ X \sim N(5.4, 1.69) $ e a dos mulheres é $ Y \sim N(5.4, 2.25) $. Tiramos amostras desses grupos: 16 homens e 25 mulheres. A pergunta é: qual deve ser o tamanho comum dessas amostras para que a probabilidade de a diferença $ |D| $ ser menor ou igual a 0,4 seja de 95%.
Vamos precisar usar conceitos de estatística sobre distribuições normais, diferença de médias e intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é $ D $. Geralmente, $ D $ representa a diferença entre as médias das duas amostras. Então, $ D = \bar{X} - \bar{Y} $, onde $ \bar{X} $ é a média da amostra masculina e $ \bar{Y} $ é a média da amostra feminina.
Passo 3
Sabemos que quando temos duas distribuições normais independentes, a diferença entre elas também segue uma distribuição normal. Portanto, $ D $ também é normalmente distribuído.
Passo 4
Vamos encontrar a média e o desvio padrão da distribuição de $ D $.
A média de $ D $ é:
O desvio padrão de $ D $ é:
Passo 5
Queremos que $ P(|D| \leq 0,4) = 0,95 $. Isso significa que queremos que a diferença das médias esteja dentro de 0,4 com 95% de confiança.
Na distribuição normal, 95% de confiança corresponde a aproximadamente 1,96 desvios padrão da média.
Então, temos:
Substituindo $ \sigma_D $:
Passo 6
Vamos isolar $ \sqrt{n} $:
Calculando os valores:
Passo 7
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar $ n $:
Como não podemos ter uma fração de amostra, arredondamos para cima:
Resposta
Para que $ P(|D| \leq 0,4) = 0,95 $, o tamanho comum das amostras deve ser de 95 elementos cada.