A distribuição X dos salários, em s.m., dos operários do sexo masculino de uma grande empresa é tal que X sim N(5.4,1.69); e a distribuição Y dos salários do sexo feminino é tal que Y sim N(5.4,2.25). Sorteiam-se duas amostras casuais simples, uma X1, X2, ldots, X16 com 16 homens e outra Y1, Y2, ldots, Y25 com 25 mulheres. Se D=X-Y, calcule P(|D|>0,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre salários de operários masculinos e femininos numa empresa grande. O que precisamos saber é que as distribuições dos salários seguem uma distribuição normal.
Dados:
  • Salários masculinos, $ X \sim \mathcal{N}(5.4, 1.69) $
  • Salários femininos, $ Y \sim \mathcal{N}(5.4, 2.25) $
Temos duas amostras:
  • 16 homens: $ X_{1}, X_{2}, ···, X_{16} $
  • 25 mulheres: $ Y_{1}, Y_{2}, ···, Y_{25} $
Queremos calcular a probabilidade de que a diferença entre as médias dos salários, $ D = \overline{X} - \overline{Y} $, seja maior que 0,5 em valor absoluto, ou seja, $ P(|D| > 0,5) $.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como as médias das amostras se distribuem. Sabemos que se uma variável segue uma distribuição normal, a média das amostras também segue uma distribuição normal, com a mesma média e variância dividida pelo tamanho da amostra.
Então:
  • Média dos salários masculinos: $ \overline{X} \sim \mathcal{N}\left(5.4, \frac{1.69}{16}\right) $
  • Média dos salários femininos: $ \overline{Y} \sim \mathcal{N}\left(5.4, \frac{2.25}{25}\right) $

Passo 3

Agora, queremos a distribuição da diferença $ D = \overline{X} - \overline{Y} $. Quando subtraímos duas variáveis normais independentes, a diferença também segue uma distribuição normal.
A média de $ D $ será:
D = X - Y
A variância de $ D $ será a soma das variâncias das médias:
D
Calculando a variância:
muD = muX - muY = 5.4 - 5.4 = 0
Então, o desvio padrão de $ D $ é:
D

Passo 4

Agora, queremos calcular $ P(|D| > 0.5) $. Isso significa a probabilidade de $ D $ ser menor que -0.5 ou maior que 0.5.
Como a distribuição é simétrica, podemos calcular:
P(|D| > 0.5)
Vamos padronizar isso usando a distribuição normal padrão. O valor Z correspondente a 0.5 é:
D

Passo 5

Consultando uma tabela de distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos $ P(Z > 1.13) $.
Sabendo que:
P(Z > 1.13)
Então:
P(Z > 1.13) approx 0.1292

Resposta

A probabilidade $ P(|D| > 0,5) $ é aproximadamente 25,84%.

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