Para uma distribuição t de Student com 12 graus de liberdade, encontre a probabilidade (área) de cada uma das seguintes regiões (esboce um gráfico para auxiliar na solução do exercício):
(a) à esquerda de 1,782 ;

Passo 1

O enunciado pede para uma distribuição t de Student com 12 graus de liberdade calcular a probabilidade (área) da região:
(a) à esquerda de 1,782.
Informações dadas:
  • A variável aleatória é uma t de Student com 12 graus de liberdade, isto é, T \sim t_{12}.
  • O ponto de interesse é t_0 = 1,782.
  • A pergunta é encontrar P\bigl(T < 1,782\bigr).

Passo 2

Entendendo a distribuição t e as propriedades que vamos usar (mais didático, passo a passo).
  • A distribuição t de Student é uma família de curvas em forma de sino, centradas em zero, parecidas com a normal mas com caudas mais pesadas quando os graus de liberdade são pequenos.
  • A notação T\sim t_{12} significa que a variável T tem distribuição t com 12 graus de liberdade.
  • Uma propriedade importante: a distribuição t é simétrica em torno de zero. Isso implica que, para qualquer a>0,
P(T>a)=P(T<-a).
  • Outra consequência útil: para qualquer valor t_0,
P(T<t_0)=1-P(T>t_0).
Essas relações vão permitir usar valores de tabela (que normalmente dão probabilidades de cauda direita) para obter a área à esquerda.

Passo 3

Como normalmente se consulta a tabela da t de Student.
  • Tabelas de t frequentemente fornecem valores críticos t_{\alpha,\nu} tais que
P(T>t_{\alpha,\nu})=\alpha,
onde \nu é o número de graus de liberdade. Ou seja, a tabela dá o ponto t que deixa \alpha de área à direita.
  • Se na tabela aparece, para \nu=12 e \alpha=0,05, o valor t_{0,05;12}=1,782, isso significa
P\bigl(T>1,782\bigr)=0,05.
  • A partir disso, usando a relação do passo anterior,
P\bigl(T<1,782\bigr)=1-P\bigl(T>1,782\bigr)=1-0,05.

Passo 4

Aplicando os números ao caso concreto.
  • Pegando da tabela (ou reconhecendo que 1,782 é o valor crítico para \alpha=0,05 com \nu=12), temos
P\bigl(T>1,782\bigr)=0,05.
  • Portanto
P\bigl(T<1,782\bigr)=1-0,05=0,95.

Passo 5

Como esboçar o gráfico (orientação para a prova, simples e rápido).
  • Desenhe um eixo horizontal com o centro em 0.
  • Desenhe uma curva em sino (mais achatada nas caudas que a normal para poucos graus de liberdade).
  • Marque o ponto t=1,782 à direita do zero.
  • Sombreie toda a região à esquerda desse ponto; essa área corresponde a 0,95 (ou 95\%) da área total.
  • Escrever ao lado: P(T<1,782)=0,95. Esse esboço é suficiente em prova para mostrar entendimento.

Passo 6

Resumo do raciocínio (para fixar a técnica):
  • Identificar que 1,782 corresponde ao quantil superior \alpha=0,05 para \nu=12: P(T>1,782)=0,05.
  • Usar simetria/complimentaridade para obter a área à esquerda: P(T<1,782)=1-0,05=0,95.
  • Sempre que aparece um valor t que coincide com um valor de tabela, lembre-se de verificar se a tabela fornece cauda direita (mais comum) e aplicar 1- quando pedir a área à esquerda.

Resposta

P\bigl(T<1,782\bigr)=0,95

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