Para uma distribuição
de Student com 12 graus de liberdade, encontre a probabilidade (área) de cada uma das seguintes regiões (esboce um gráfico para auxiliar na solução do exercício):
(a) à esquerda de 1,782 ;
(a) à esquerda de 1,782 ;
Passo 1
O enunciado pede para uma distribuição
de Student com 12 graus de liberdade calcular a probabilidade (área) da região:
(a) à esquerda de .
(a) à esquerda de
Informações dadas:
- A variável aleatória é uma
de Student com 12 graus de liberdade, isto é, . - O ponto de interesse é
. - A pergunta é encontrar
.
Passo 2
Entendendo a distribuição
e as propriedades que vamos usar (mais didático, passo a passo).
- A distribuição
de Student é uma família de curvas em forma de sino, centradas em zero, parecidas com a normal mas com caudas mais pesadas quando os graus de liberdade são pequenos. - A notação
significa que a variável tem distribuição com graus de liberdade. - Uma propriedade importante: a distribuição
é simétrica em torno de zero. Isso implica que, para qualquer ,
- Outra consequência útil: para qualquer valor
,
Essas relações vão permitir usar valores de tabela (que normalmente dão probabilidades de cauda direita) para obter a área à esquerda.
Passo 3
Como normalmente se consulta a tabela da
de Student.
- Tabelas de
frequentemente fornecem valores críticos tais que
onde
é o número de graus de liberdade. Ou seja, a tabela dá o ponto
que deixa
de área à direita.
- Se na tabela aparece, para
e , o valor , isso significa
- A partir disso, usando a relação do passo anterior,
Passo 4
Aplicando os números ao caso concreto.
- Pegando da tabela (ou reconhecendo que
é o valor crítico para com ), temos
- Portanto
Passo 5
Como esboçar o gráfico (orientação para a prova, simples e rápido).
- Desenhe um eixo horizontal com o centro em
. - Desenhe uma curva em sino (mais achatada nas caudas que a normal para poucos graus de liberdade).
- Marque o ponto
à direita do zero. - Sombreie toda a região à esquerda desse ponto; essa área corresponde a
(ou ) da área total. - Escrever ao lado:
. Esse esboço é suficiente em prova para mostrar entendimento.
Passo 6
Resumo do raciocínio (para fixar a técnica):
- Identificar que
corresponde ao quantil superior para : . - Usar simetria/complimentaridade para obter a área à esquerda:
. - Sempre que aparece um valor
que coincide com um valor de tabela, lembre-se de verificar se a tabela fornece cauda direita (mais comum) e aplicar quando pedir a área à esquerda.