A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por
uumax =1-(2 yh)^2
onde h é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 15^circ C, com umax =0,10 m / s e h=0,25 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um escoamento laminar entre duas placas paralelas, e a velocidade do fluido varia de acordo com a posição entre as placas. O exercício nos dá a fórmula da distribuição de velocidade e algumas informações específicas: a velocidade máxima, a distância entre as placas e a temperatura da água. Precisamos calcular a tensão de cisalhamento na placa superior, entender para onde ela aponta e também desenhar como essa tensão varia através do canal. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre escoamento laminar e tensão de cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da distribuição de velocidade dada:
uumax =1-(2 yh)^2
Aqui, é a velocidade do fluido em um ponto entre as placas, é a velocidade máxima (no meio do canal), e é a distância entre as placas. A variável mede a posição vertical, com a origem no meio entre as placas.

Passo 3

Para encontrar a tensão de cisalhamento ( tau = mu dudy ) na placa, precisamos calcular o gradiente de velocidade na parede. A tensão de cisalhamento é dada por:
onde é a viscosidade do fluido e é a derivada da velocidade em relação a .

Passo 4

Vamos calcular u(y) = umax (1 - (2 yh)^2) . Dada a função de velocidade:
dudy = umax cdot (-2 cdot 4 yh^2) = -4 umax yh^2
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular dudyg|y = h2 = -4 umax cdot h2h^2 = -2 umaxh na placa superior. A placa superior está localizada em . Substituindo:

Passo 6

Com o gradiente de velocidade na parede, podemos agora calcular a tensão de cisalhamento:
tau = mu cdot (-2 umaxh) = -2 mu umaxh
O sinal negativo indica a direção da força, mas vamos focar no valor absoluto para a magnitude.

Passo 7

Vamos substituir os valores numéricos fornecidos:
  • tau = 2 times 1,14 times 10^-3 , Pa cdot s times 0,10 , m/s0,00025 , m = 2 times 1,14 times 10^-40,00025 = 2,28 times 10^-40,00025 = 0,912 , Pa
  • A viscosidade da água a é aproximadamente
Substituindo na fórmula:

Passo 8

A tensão de cisalhamento na placa superior tem magnitude de . Quanto à direção, a força de cisalhamento na placa superior atua para baixo, pois o fluido está se movendo para a direita (supondo essa direção) e a força de cisalhamento sempre atua contra o movimento do fluido na parede.

Passo 9

Para esboçar a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal, vamos lembrar que a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade tau = -4 mu umax yh^2 . Como vimos:
Isso significa que a tensão de cisalhamento varia linearmente com , sendo máxima nas paredes e zero no centro. O gráfico será uma linha reta que começa em na parede superior, passa por zero no centro e atinge na parede inferior. Assim, a curva é uma linha reta descendente da parede superior para o centro e continua até a parede inferior.

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é de e atua para baixo. A variação da tensão de cisalhamento na seção transversal do canal é linear, diminuindo de nas paredes até zero no centro.

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