As distribuições de probabilidades para as funções de onda do oscilador harmônico começam a ficar parecidas com a distribuição de probabilidade clássica quando o número quântico
torna-se grande. As distribuições quânticas tendem a se tornar exatamente igual quando
tende ao infinito? Explique.
Passo 1
O enunciado compara a distribuição de posição quântica
do oscilador harmônico com a distribuição de posição clássica
quando o número quântico
cresce muito. O conteúdo principal aqui é o Princípio da Correspondência e a aproximação WKB para grandes
. Para resolver, vamos:
- Escrever
. - Mostrar a forma assintótica de
via WKB/Plancherel–Rotach. - Comparar e discutir se, no limite
, as duas se tornam exatamente iguais ou apenas semelhantes em média.
Passo 2
Na teoria clássica, um oscilador harmônico de energia
tem amplitude máxima
e passa mais tempo perto dos extremos. A densidade de probabilidade clássica é inversamente proporcional à velocidade
, então
Passo 3
Para grandes
, a solução quântica
pode ser aproximada pelo método WKB (ou pela fórmula de Plancherel–Rotach para polinômios de Hermite). No regime permitido
, tem-se
onde
.
Passo 4
Ao quadrar e usar que
, obtemos
com
oscilando rapidamente para
. O fator
é exatamente o mesmo perfil da densidade clássica
, mas aparece multiplicado por
, que gera flutuações rápidas (nós e antinós).
Passo 5
Quando
, as oscilações de
ficam cada vez mais rápidas. Se fizermos uma média local num intervalo contendo muitas oscilações,
, e então o “envelope médio” de
coincide com
até uma constante de normalização. Porém, ponto a ponto
nunca é idêntico a
: há sempre o rippling quântico (os nós).
Resposta
Não. As distribuições quânticas
só se tornam iguais à distribuição clássica
em média, ao fazermos uma média local sobre muitas oscilações. No limite
, o perfil de envelope coincide com
, mas nunca há igualdade ponto a ponto, pois permanecem oscilações quânticas (nós de
).