As distribuições de probabilidades para as funções de onda do oscilador harmônico começam a ficar parecidas com a distribuição de probabilidade clássica quando o número quântico n torna-se grande. As distribuições quânticas tendem a se tornar exatamente igual quando n tende ao infinito? Explique.

Passo 1

O enunciado compara a distribuição de posição quântica |\psi_n(x)|^2 do oscilador harmônico com a distribuição de posição clássica P_{\rm cl}(x) quando o número quântico n cresce muito. O conteúdo principal aqui é o Princípio da Correspondência e a aproximação WKB para grandes n. Para resolver, vamos:
  1. Escrever P_{\rm cl}(x).
  2. Mostrar a forma assintótica de |\psi_n(x)|^2 via WKB/Plancherel–Rotach.
  3. Comparar e discutir se, no limite n\to\infty, as duas se tornam exatamente iguais ou apenas semelhantes em média.

Passo 2

Na teoria clássica, um oscilador harmônico de energia E_n\approx\hbar\omega(n+\tfrac12) tem amplitude máxima
x_{\max}=\sqrt{\frac{2E_n}{m\omega^2}}\simeq\sqrt{\frac{2\hbar\omega n}{m\omega^2}}
e passa mais tempo perto dos extremos. A densidade de probabilidade clássica é inversamente proporcional à velocidade v(x)=\omega\sqrt{x_{\max}^2-x^2}, então
P_{\rm cl}(x) =\frac{1}{T\,v(x)} =\frac{1}{\pi\,\sqrt{x_{\max}^2-x^2}}\,,\quad |x|<x_{\max}.

Passo 3

Para grandes n, a solução quântica \psi_n(x) pode ser aproximada pelo método WKB (ou pela fórmula de Plancherel–Rotach para polinômios de Hermite). No regime permitido |x|<x_{\max}, tem-se
\psi_n(x)\approx \frac{C}{\bigl[E_n - \tfrac12 m\omega^2 x^2\bigr]^{1/4}} \cos\!\bigl(\tfrac{1}{\hbar}\!\int^x p(x')\,dx' - \tfrac\pi4\bigr),
onde p(x)=\sqrt{2m(E_n-\frac12m\omega^2x^2)}.

Passo 4

Ao quadrar e usar que E_n\approx\hbar\omega n, obtemos
|\psi_n(x)|^2 \approx \frac{C^2}{\sqrt{x_{\max}^2 - x^2}} \cos^2\!\bigl(\Phi_n(x)\bigr),
com \Phi_n(x) oscilando rapidamente para n\gg1. O fator 1/\sqrt{x_{\max}^2-x^2} é exatamente o mesmo perfil da densidade clássica P_{\rm cl}(x), mas aparece multiplicado por \cos^2\!\bigl(\Phi_n(x)\bigr), que gera flutuações rápidas (nós e antinós).

Passo 5

Quando n\to\infty, as oscilações de \cos^2(\Phi_n(x)) ficam cada vez mais rápidas. Se fizermos uma média local num intervalo contendo muitas oscilações, \langle\cos^2\!\Phi_n\rangle=1/2, e então o “envelope médio” de |\psi_n|^2 coincide com P_{\rm cl}(x) até uma constante de normalização. Porém, ponto a ponto |\psi_n|^2 nunca é idêntico a P_{\rm cl}(x): há sempre o rippling quântico (os nós).

Resposta

Não. As distribuições quânticas |\psi_n(x)|^2 só se tornam iguais à distribuição clássica P_{\rm cl}(x) em média, ao fazermos uma média local sobre muitas oscilações. No limite n\to\infty, o perfil de envelope coincide com P_{\rm cl}(x), mas nunca há igualdade ponto a ponto, pois permanecem oscilações quânticas (nós de \psi_n).

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