Se a divide b e a divide c , então a divide
.
Passo 1
O enunciado dá que
divide
e que
divide
, e pede para provar que
divide
. Vou considerar que todas as letras representam inteiros, isto é
. Informações relevantes dadas:
O que precisamos concluir:
Passo 2
Primeiro, lembra o que significa a notação de divisibilidade. Dizer
significa que existe um inteiro
tal que
Aqui
é um inteiro qualquer; essa é a definição de divisibilidade para inteiros. O mesmo vale para
.
Passo 3
Aplicando a definição às duas hipóteses do enunciado, existem inteiros
e
tais que
e
Expliquei: isso vem diretamente de
e
pela definição.
Passo 4
Agora multiplico essas igualdades pelos inteiros
e
. Pela propriedade distributiva e pela associatividade da multiplicação temos
e
Nota:
e
são produtos de inteiros, logo também são inteiros (fechamento da multiplicação em
).
Passo 5
Somando as duas expressões obtidas:
Agora fatoramos
usando a distributiva inversa:
Passo 6
Observe que
é soma de inteiros, portanto é um inteiro (fechamento da adição em
). Denotando
com
, temos
Pela definição de divisibilidade, isto é exatamente a condição para dizer que
divide
. Assim concluímos
Passo 7
Um exemplo numérico rápido só para fixar a ideia: tome
,
,
,
,
. Temos
e
. Calculando
e
, logo
. Funciona exatamente como a prova geral mostrou.
Passo 8
Dica prática para prova: ao ver
e
, escreva imediatamente
e
, multiplique por
e
e some. É curto e seguro — faz parte do raciocínio padrão sobre divisibilidade.