Se a divide b e a divide c , então a divide \mathrm{mb}+\mathrm{NC}.

Passo 1

O enunciado dá que \,a divide \,b e que \,a divide \,c, e pede para provar que \,a divide \,m b + n c. Vou considerar que todas as letras representam inteiros, isto é \,a,b,c,m,n\in\mathbb{Z}. Informações relevantes dadas:
a\mid b \quad\text{e}\quad a\mid c.
O que precisamos concluir:
\text{mostrar que } a\mid (m b + n c).

Passo 2

Primeiro, lembra o que significa a notação de divisibilidade. Dizer \,a\mid b significa que existe um inteiro \,k tal que
b = k a.
Aqui \,k é um inteiro qualquer; essa é a definição de divisibilidade para inteiros. O mesmo vale para \,a\mid c.

Passo 3

Aplicando a definição às duas hipóteses do enunciado, existem inteiros \,k e \,\ell tais que
b = k a
e
c = \ell a.
Expliquei: isso vem diretamente de a\mid b e a\mid c pela definição.

Passo 4

Agora multiplico essas igualdades pelos inteiros \,m e \,n. Pela propriedade distributiva e pela associatividade da multiplicação temos
m b = m (k a) = (m k) a
e
n c = n (\ell a) = (n\ell) a.
Nota: m k e n\ell são produtos de inteiros, logo também são inteiros (fechamento da multiplicação em \mathbb{Z}).

Passo 5

Somando as duas expressões obtidas:
m b + n c = (m k) a + (n\ell) a.
Agora fatoramos \,a usando a distributiva inversa:
m b + n c = \bigl(m k + n\ell\bigr) a.

Passo 6

Observe que \,m k + n\ell é soma de inteiros, portanto é um inteiro (fechamento da adição em \mathbb{Z}). Denotando q = m k + n\ell com q\in\mathbb{Z}, temos
m b + n c = q a.
Pela definição de divisibilidade, isto é exatamente a condição para dizer que a divide m b + n c. Assim concluímos
a\mid (m b + n c).

Passo 7

Um exemplo numérico rápido só para fixar a ideia: tome a=3, b=12, c=9, m=2, n=-1. Temos 3\mid 12 e 3\mid 9. Calculando
m b + n c = 2\cdot 12 + (-1)\cdot 9 = 24-9 = 15,
e 15 = 5\cdot 3, logo 3\mid 15. Funciona exatamente como a prova geral mostrou.

Passo 8

Dica prática para prova: ao ver a\mid b e a\mid c, escreva imediatamente b=k a e c=\ell a, multiplique por m e n e some. É curto e seguro — faz parte do raciocínio padrão sobre divisibilidade.

Resposta

\;a\mid (m b + n c)

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