Dizemos que os vetores u, v e w em R^3 são coplanares quando o seu produto misto é nulo, isto é, u cdot(v times w)=0. Determine o valor x in R a fim de que u= (1, x, 1), v=(2,3,3 x) e w=(3,5,7) sejam coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o valor de que faz com que os vetores , e sejam coplanares. Para isso, vamos usar o conceito de produto misto, que nos ajuda a verificar se três vetores estão no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto misto. Ele é calculado como . Se o resultado for zero, significa que os vetores são coplanares.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v times w = i & j & k 2 & 3 & 3x 3 & 5 & 7 . O produto vetorial de dois vetores em v times w = i(3 cdot 7 - 3x cdot 5) - j(2 cdot 7 - 3x cdot 3) + k(2 cdot 5 - 3 cdot 3) resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. A fórmula é:
= i(21 - 15x) - j(14 - 9x) + k(10 - 9)
Calculando o determinante:
= (21 - 15x, -14 + 9x, 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot (v times w) = 1 cdot (21 - 15x) + x cdot (-14 + 9x) + 1 cdot 1 :
= 21 - 15x - 14x + 9x^2 + 1
= 9x^2 - 29x + 22

Passo 5

Para que os vetores sejam coplanares, o produto misto deve ser igual a zero:
9x^2 - 29x + 22 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 29 pm raiz29^2 - 4 cdot 9 cdot 222 cdot 9
x = 29 pm raiz841 - 79218
x = 29 pm raiz4918
x = 29 pm 718
Isso nos dá duas soluções:
x = 3618 = 2 ou x = 2218 = 119

Resposta

Os valores de que tornam os vetores coplanares são ou .

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