Dois blocos de massas m_{1} e m_{2} colidem de forma elástica. Sabendo que m_{1} está inicialmente em repouso e que \mathrm{m}_{2}=3 \mathrm{~m}_{1}, determine as velocidades finais de ambos em função da velocidade inicial de \mathrm{m}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Duas massas colidem elasticamente em uma dimensão: m_{1} e m_{2}.
  • A massa m_{1} está inicialmente em repouso, ou seja sua velocidade inicial é u_{1}=0.
  • A massa m_{2} tem velocidade inicial (conhecida) — vou chamar essa velocidade de u, isto é u_{2}=u.
  • Está dado que m_{2}=3\,m_{1}.
O enunciado pede: determinar as velocidades finais de m_{1} e de m_{2} (isto é v_{1} e v_{2}) em função da velocidade inicial de m_{2}, que denotei por u.

Passo 2

Vamos introduzir notação clara (tudo o que vem a seguir é só nomear variáveis para organizar a conta).
  • Defino m_{1}=m (uma massa de referência) e então m_{2}=3m.
  • Velocidades iniciais:
    • u_{1}=0 (massa m_{1} em repouso),
    • u_{2}=u (velocidade conhecida da massa m_{2}).
  • Velocidades finais (desconhecidas que queremos achar):
    • v_{1} velocidade final de m_{1},
    • v_{2} velocidade final de m_{2}.
O objetivo é expressar v_{1} e v_{2} em função de u.

Passo 3

Princípio usado 1: conservação da quantidade de movimento (momento linear).
  • Em colisões isoladas, o momento total é conservado. A fórmula geral é
m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.
  • Substituindo m_{1}=m, m_{2}=3m, u_{1}=0 e u_{2}=u obtemos
m\cdot 0 + 3m\cdot u = m v_{1} + 3m v_{2}.
  • Cancelando m em todos os termos:
3u = v_{1} + 3v_{2}.
Essa é a primeira equação (equação linear).

Passo 4

Princípio usado 2: conservação da energia cinética (pois a colisão é elástica).
  • A fórmula geral é
\frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}u_{2}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}.
  • Substituindo m_{1}=m, m_{2}=3m, u_{1}=0, u_{2}=u e cancelando o fator \tfrac{1}{2}:
m\cdot 0^{2} + 3m\cdot u^{2} = m v_{1}^{2} + 3m v_{2}^{2}.
  • Cancelando m:
3u^{2} = v_{1}^{2} + 3v_{2}^{2}.
Essa é a segunda equação (não-linear).

Passo 5

Uma técnica muito útil (e rápida) para colisões elásticas em uma dimensão é usar a propriedade da “inversão da velocidade relativa”: a velocidade relativa antes da colisão é igual em magnitude e oposta à velocidade relativa depois. Em símbolos:
u_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2}).
Vou derivar rapidamente essa relação a partir das equações de conservação (para você entender por que vale):
  • Da conservação do momento: m_{1}(u_{1}-v_{1})=m_{2}(v_{2}-u_{2}). (rearranjando)
  • Da conservação da energia cinética: m_{1}(u_{1}^{2}-v_{1}^{2})=m_{2}(v_{2}^{2}-u_{2}^{2}).
  • Fatore as diferenças de quadrado na energia: m_{1}(u_{1}-v_{1})(u_{1}+v_{1})=m_{2}(v_{2}-u_{2})(v_{2}+u_{2}).
  • Dividindo essa última igualdade pela equação do momento (onde aparece m_{1}(u_{1}-v_{1}) e m_{2}(v_{2}-u_{2})), cancelam-se os fatores m_{1}(u_{1}-v_{1}) e m_{2}(v_{2}-u_{2}), restando
u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}.
  • Reorganizando isso obtém-se exatamente
u_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2}).
Essa relação é muito prática: ela transforma o sistema (um linear + um quadrático) em dois lineares.

Passo 6

Aplicando a relação da velocidade relativa ao nosso caso ( u_{1}=0,\,u_{2}=u\)): \[0 - u = -(v_{1}-v_{2}) \quad\Rightarrow\quad v_{1}-v_{2}=u.
Agora temos o sistema linear
\begin{cases} v_{1}+3v_{2}=3u,\\[4pt] v_{1}-v_{2}=u. \end{cases}
Subtraio a segunda equação da primeira (ou elimino v_{1}\] somando/ subtraindo): - Da segunda equação \(v_{1}=v_{2}+u. Substituindo na primeira:
(v_{2}+u) + 3v_{2} = 3u.
  • Agrupando termos:
4v_{2} + u = 3u.
  • Isolando v_{2}:
4v_{2} = 2u \quad\Rightarrow\quad v_{2} = \tfrac{1}{2}u.
  • Agora v_{1}=v_{2}+u = \tfrac{1}{2}u + u = \tfrac{3}{2}u.]

Passo 7

Verificação rápida (confirmação das leis de conservação):
  • Momento inicial: m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m\cdot 0 + 3m\cdot u = 3mu.
  • Momento final com as soluções: m v_{1} + 3m v_{2} = m\cdot\tfrac{3}{2}u + 3m\cdot\tfrac{1}{2}u = \tfrac{3}{2}mu + \tfrac{3}{2}mu = 3mu. OK.
  • Energia inicial: \tfrac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 3m u^{2} = \tfrac{3}{2}m u^{2}.
  • Energia final: \tfrac{1}{2}m v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 3m v_{2}^{2} = \tfrac{1}{2}m\left(\tfrac{9}{4}u^{2}\right) + \tfrac{1}{2}\cdot 3m\left(\tfrac{1}{4}u^{2}\right) = \tfrac{9}{8}m u^{2} + \tfrac{3}{8}m u^{2} = \tfrac{12}{8}m u^{2} = \tfrac{3}{2}m u^{2}. OK.

Resposta

v_{1}=\dfrac{3}{2}\,u
v_{2}=\dfrac{1}{2}\,u