Dois blocos de massas
e
colidem de forma elástica. Sabendo que
está inicialmente em repouso e que
, determine as velocidades finais de ambos em função da velocidade inicial de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Duas massas colidem elasticamente em uma dimensão:
e . - A massa
está inicialmente em repouso, ou seja sua velocidade inicial é . - A massa
tem velocidade inicial (conhecida) — vou chamar essa velocidade de , isto é . - Está dado que
.
O enunciado pede: determinar as velocidades finais de
e de
(isto é
e
) em função da velocidade inicial de
, que denotei por
.
Passo 2
Vamos introduzir notação clara (tudo o que vem a seguir é só nomear variáveis para organizar a conta).
- Defino
(uma massa de referência) e então . - Velocidades iniciais:
-
(massa em repouso), -
(velocidade conhecida da massa ).
-
- Velocidades finais (desconhecidas que queremos achar):
-
velocidade final de , -
velocidade final de .
-
O objetivo é expressar
e
em função de
.
Passo 3
Princípio usado 1: conservação da quantidade de movimento (momento linear).
- Em colisões isoladas, o momento total é conservado. A fórmula geral é
- Substituindo
, , e obtemos
- Cancelando
em todos os termos:
Essa é a primeira equação (equação linear).
Passo 4
Princípio usado 2: conservação da energia cinética (pois a colisão é elástica).
- A fórmula geral é
- Substituindo
, , , e cancelando o fator :
- Cancelando
:
Essa é a segunda equação (não-linear).
Passo 5
Uma técnica muito útil (e rápida) para colisões elásticas em uma dimensão é usar a propriedade da “inversão da velocidade relativa”: a velocidade relativa antes da colisão é igual em magnitude e oposta à velocidade relativa depois. Em símbolos:
Vou derivar rapidamente essa relação a partir das equações de conservação (para você entender por que vale):
- Da conservação do momento:
. (rearranjando) - Da conservação da energia cinética:
. - Fatore as diferenças de quadrado na energia:
. - Dividindo essa última igualdade pela equação do momento (onde aparece
e ), cancelam-se os fatores e , restando
- Reorganizando isso obtém-se exatamente
Essa relação é muito prática: ela transforma o sistema (um linear + um quadrático) em dois lineares.
Passo 6
Aplicando a relação da velocidade relativa ao nosso caso (
Agora temos o sistema linear
Subtraio a segunda equação da primeira (ou elimino
. Substituindo na primeira:
- Agrupando termos:
- Isolando
:
- Agora
.]
Passo 7
Verificação rápida (confirmação das leis de conservação):
- Momento inicial:
. - Momento final com as soluções:
. OK. - Energia inicial:
. - Energia final:
. OK.