Dois carros se aproximam de um cruzamento. Um viaja para o leste a 60 km / h e o outro viaja para o norte a 80 km / h. A que taxa a distância entre os carros está diminuindo quando o primeiro carro estiver a 100 m do cruzamento e o segundo carro estiver a 150 m do cruzamento?

Passo 1

Então, temos dois carros se aproximando de um cruzamento. Um está indo para o leste a 60 km/h e o outro para o norte a 80 km/h. No momento que estamos analisando, o primeiro carro está a 100 metros do cruzamento e o segundo a 150 metros. Vamos usar o conceito de taxas relacionadas para descobrir a que velocidade a distância entre os carros está diminuindo nesse instante.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as velocidades dos carros de km/h para m/s, já que as distâncias estão em metros. Sabemos que:
1 , km/h = 10003600 , m/s
Então:
60 , km/h = 60 times 10003600 = 166 , m/s
80 , km/h = 80 times 10003600 approx 22.22 , m/s

Passo 3

Vamos chamar a distância do primeiro carro ao cruzamento de $ x $ e a do segundo de $ y $. A distância entre os carros, $ d $, forma um triângulo retângulo com $ x $ e $ y $ como catetos. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras:
x

Passo 4

Queremos encontrar a taxa de variação de $ d $ em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dd}{dt} $. Vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo $ t $:
d
Simplificando:
dddt

Passo 5

No instante considerado:
  • $ x = 100 , m $
  • $ y = 150 , m $
  • $ \frac{dx}{dt} = -16.\overline{6} , m/s $ (negativo porque o carro está se aproximando do cruzamento)
  • $ \frac{dy}{dt} = -22.22 , m/s $ (também negativo pelo mesmo motivo)
Primeiro, calculamos $ d $:
x = 100 , m

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula de $ \frac{dd}{dt} $:
dddt
dddt = 100 times (-166) + 150 times (-22.22)180.28
dddt = -1666.67 - 3333180.28

Resposta

A distância entre os dois carros está diminuindo a uma taxa de aproximadamente 27,73 metros por segundo nesse instante.

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