Dois carros se aproximam de um cruzamento. Um viaja para o leste a
e o outro viaja para o norte a
. A que taxa a distância entre os carros está diminuindo quando o primeiro carro estiver a
do cruzamento e o segundo carro estiver a
do cruzamento?
Passo 1
Então, temos dois carros se aproximando de um cruzamento. Um está indo para o leste a 60 km/h e o outro para o norte a 80 km/h. No momento que estamos analisando, o primeiro carro está a 100 metros do cruzamento e o segundo a 150 metros. Vamos usar o conceito de taxas relacionadas para descobrir a que velocidade a distância entre os carros está diminuindo nesse instante.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as velocidades dos carros de km/h para m/s, já que as distâncias estão em metros. Sabemos que:
Então:
Passo 3
Vamos chamar a distância do primeiro carro ao cruzamento de $ x $ e a do segundo de $ y $. A distância entre os carros, $ d $, forma um triângulo retângulo com $ x $ e $ y $ como catetos. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras:
Passo 4
Queremos encontrar a taxa de variação de $ d $ em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dd}{dt} $. Vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo $ t $:
Simplificando:
Passo 5
No instante considerado:
- $ x = 100 , m $
- $ y = 150 , m $
- $ \frac{dx}{dt} = -16.\overline{6} , m/s $ (negativo porque o carro está se aproximando do cruzamento)
- $ \frac{dy}{dt} = -22.22 , m/s $ (também negativo pelo mesmo motivo)
Primeiro, calculamos $ d $:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula de $ \frac{dd}{dt} $:
Resposta
A distância entre os dois carros está diminuindo a uma taxa de aproximadamente 27,73 metros por segundo nesse instante.