Dois dados d_{1} e d_{2} sĩo lançados.
Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser 5, se a soma dos pontos foi menor ou igual a 9 ?

Passo 1

O enunciado diz que dois dados d_{1} e d_{2} são lançados. Pergunta-se qual é a probabilidade de o máximo dos números observados ser 5 dado que a soma dos pontos foi menor ou igual a 9.
Informações relevantes que temos:
  • Cada dado tem 6 faces e os lançamentos são independentes.
  • Evento que queremos: A=\{\max(d_{1},d_{2})=5\}.
  • Evento condicionado: B=\{d_{1}+d_{2}\le 9\}.
    O que se pede é a probabilidade condicional P(A\mid B).

Passo 2

Relembrando a fórmula de probabilidade condicional (importante para prova): para dois eventos A e B com P(B)>0,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente A e B, e P(B) é a probabilidade de B. Como os resultados dos dois dados são equiprováveis, vamos contar resultados favoráveis e dividir pelo total de resultados.

Passo 3

Tamanho do espaço amostral: cada dado tem 6 resultados, logo o número total de pares (d_{1},d_{2}) é
6\times6=36.
Trataremos probabilidades como contagens sobre 36 resultados igualmente prováveis.

Passo 4

Calcular P(B), ou seja contar quantos pares têm soma menor ou igual a 9.
É mais fácil usar o complemento: somas maiores que 9 são 10,11,12.
  • Soma 10: pares (4,6),(5,5),(6,4) 3 resultados.
  • Soma 11: pares (5,6),(6,5) 2 resultados.
  • Soma 12: par (6,6) 1 resultado.
Total com soma >9 é 3+2+1=6. Então o número de pares com soma \le 9 é
36-6=30.
Portanto P(B)=\dfrac{30}{36}=\dfrac{5}{6} (mas manteremos as contagens para usar na razão).

Passo 5

Calcular P(A\cap B): primeiro achar todos os pares em que \max(d_{1},d_{2})=5.
Condição \max(d_{1},d_{2})=5 significa que ambos os valores estão em \{1,2,3,4,5\} e pelo menos um deles é 5. Listando ou contando:
  • Pares com pelo menos um 5 e sem 6: (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5).
    Isso dá 9 resultados no total para A.
Agora impor a condição da soma \le 9: entre esses 9 apenas (5,5) tem soma 10>9, os outros têm soma \le 9. Então o número de resultados em A\cap B é
9-1=8.
Assim P(A\cap B)=\dfrac{8}{36}.

Passo 6

Aplicando a fórmula da probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\tfrac{8}{36}}{\tfrac{30}{36}}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}.

Passo 7

Interpretação rápida: entre os 30 casos em que a soma é \le 9, em 8 deles o maior número mostrado é 5. Então a probabilidade pedida é \dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}. Força aí na prova — esse tipo de contagem condicional cai direto em concurso e prova de cálculo de probabilidades!

Resposta

\dfrac{4}{15}

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