Dois dados
e
sĩo lançados.
Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser 5, se a soma dos pontos foi menor ou igual a 9 ?
Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser 5, se a soma dos pontos foi menor ou igual a 9 ?
Passo 1
O enunciado diz que dois dados
e
são lançados. Pergunta-se qual é a probabilidade de o máximo dos números observados ser
dado que a soma dos pontos foi menor ou igual a
.
Informações relevantes que temos:
- Cada dado tem
faces e os lançamentos são independentes. - Evento que queremos:
. - Evento condicionado:
.
O que se pede é a probabilidade condicional.
Passo 2
Relembrando a fórmula de probabilidade condicional (importante para prova): para dois eventos
e
com
,
Aqui
é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente
e
, e
é a probabilidade de
. Como os resultados dos dois dados são equiprováveis, vamos contar resultados favoráveis e dividir pelo total de resultados.
Passo 3
Tamanho do espaço amostral: cada dado tem
resultados, logo o número total de pares
é
Trataremos probabilidades como contagens sobre
resultados igualmente prováveis.
Passo 4
Calcular
, ou seja contar quantos pares têm soma menor ou igual a
.
É mais fácil usar o complemento: somas maiores que
são
.
- Soma
: pares → resultados. - Soma
: pares → resultados. - Soma
: par → resultado.
Total com soma
é
. Então o número de pares com soma
é
Portanto
(mas manteremos as contagens para usar na razão).
Passo 5
Calcular
: primeiro achar todos os pares em que
.
Condição
significa que ambos os valores estão em
e pelo menos um deles é
. Listando ou contando:
- Pares com pelo menos um
e sem : .
Isso dáresultados no total para .
Agora impor a condição da soma
: entre esses
apenas
tem soma
, os outros têm soma
. Então o número de resultados em
é
Assim
.
Passo 6
Aplicando a fórmula da probabilidade condicional:
Passo 7
Interpretação rápida: entre os
casos em que a soma é
, em
deles o maior número mostrado é
. Então a probabilidade pedida é
. Força aí na prova — esse tipo de contagem condicional cai direto em concurso e prova de cálculo de probabilidades!