Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} são aplicados à viga A B constituída de um perfil U. Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no ponto C.

Passo 1

O enunciado (o que foi dado e o que se pede):
  • Foi dado que dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} atuam sobre a viga AB.
  • A viga é constituída de um perfil em U e flexiona em um plano horizontal.
  • Pede-se: determinar a tensão no ponto C.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são necessárias para obter um valor numérico):
  • Não foi fornecida a figura do perfil em U nem as dimensões do perfil (espessuras, largura das abas, altura total, etc.).
  • Não foi especificada a posição do ponto C em relação ao eixo neutro (distância radial/vertical do eixo neutro).
  • Não foram dadas unidades adicionais nem convenções sobre sinal (por ex., qual face fica em tração/ compressão), embora o sentido de M permita determinar sinal se soubéssemos a posição de C.
Conclusão deste passo: a informação fornecida é incompleta para calcular um valor numérico da tensão em C. A resolução só pode prosseguir apresentando a metodologia geral e o procedimento a seguir quando as dimensões/posição de C forem conhecidas.

Passo 2

Fórmula básica da flexão (o que usar na prova)
  • Para flexão simples (momento fletor puro), a tensão normal longitudinal em uma fibra a uma distância \,y\, do eixo neutro é dada por:
\sigma = -\dfrac{M\,y}{I}.
Expliquei as variáveis:
  • \sigma é a tensão normal na fibra (unidade: \mathrm{N}/\mathrm{m}^2 ou \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2).
  • M é o momento fletor interno (unidade compatível com as outras dimensões, por ex. \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm} ou \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}).
  • y é a distância da fibra até o eixo neutro (positiva num sentido que se escolhe; o sinal de \sigma indica tração/compressão).
  • I é o segundo momento de área (momento de inércia) da seção transversal em relação ao eixo neutro (unidade: \mathrm{mm}^4 ou \mathrm{m}^4).
Pequena observação sobre sinal: o sinal negativo nesta forma indica que, se M gera compressão para y>0, \sigma será negativa (compressão) — numa prova, fixe a convenção: por exemplo, y positivo para cima e então verifique se \sigma positiva significa tração ou compressão.

Passo 3

Como obter I e y para um perfil em U (passo a passo que você deve aplicar na prova)
  1. Divida a seção em retângulos simples (geralmente: duas abas — flanges — e alma — web).
  2. Calcule a área de cada parte: A_i.
  3. Determine a posição do centróide de cada parte em relação a um eixo de referência (por ex. base da seção) — chamar essa coordenada de y_i.
  4. Calcule a coordenada do centróide da seção inteira (eixo neutro) por:
\bar{y}=\dfrac{\sum_i A_i\,y_i}{\sum_i A_i}.
Expliquei as variáveis:
  • A_i é a área da i-ésima parte.
  • y_i é a distância do centróide da i-ésima parte até a referência.
  • \bar{y} é a distância do centróide da seção até a mesma referência; o eixo neutro está em \bar{y}.

Passo 4

Cálculo do segundo momento de área I (regra prática)
  • Para cada pedaço retangular, o momento de inércia em relação ao seu próprio eixo centroidal horizontal é:
I_{ci}=\dfrac{b_i\,h_i^3}{12},
onde b_i é a dimensão horizontal (largura do retângulo) e h_i a dimensão vertical (altura do retângulo).
  • Use o teorema dos eixos paralelos para referir I_{ci} ao eixo neutro da seção:
I_i = I_{ci} + A_i\,d_i^2,
onde d_i é a distância entre o centróide da peça e o eixo neutro ( d_i=|y_i-\bar{y}|).
  • O segundo momento da seção inteira é:
I=\sum_i I_i = \sum_i\left(I_{ci} + A_i\,d_i^2\right).

Passo 5

Como determinar y (a distância do ponto C ao eixo neutro)
  • Meça a posição de C em relação à mesma referência usada para calcular \bar{y}; então:
y = y_C - \bar{y},
onde \,y_C\, é a coordenada de C (pode ser positiva ou negativa conforme a escolha de referência). Esse \,y\, é o que entra na fórmula \sigma = -M y / I.

Passo 6

Unindo tudo: cálculo final da tensão na prática (o procedimento que você deve executar na prova)
  1. Converter M para unidades consistentes com I. Por exemplo, se calcular I em \mathrm{mm}^4, use M em \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}. Aqui:
M = 25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} = 25\,000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} = 25\,000\times 1\,000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}=25\times10^{6}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}.
  1. Calcular \bar{y} e I seguindo os passos anteriores.
  2. Calcular y=y_C-\bar{y}.
  3. Avaliar
\sigma = -\dfrac{M\,y}{I}.
  1. Interpretar sinal: se \sigma>0 definido como tração (depende da sua convenção), então a fibra está tracionada; se \sigma<0 está comprimida.

Passo 7

Exemplo ilustrativo (apenas para fixar o método — NÃO é a resposta do exercício porque as dimensões reais não foram dadas)
  • Suponha um perfil U com dimensões escolhidas para exemplo (isto é hipotético): altura total 100\\ \mathrm{mm}, alma entre as abas 80\\ \mathrm{mm}, espessura da alma 10\\ \mathrm{mm}, largura das abas 60\\ \mathrm{mm}, espessura das abas 10\\ \mathrm{mm}. Seja C o ponto mais externo da aba superior.
  • Procedendo como nos passos anteriores obtém-se (cálculos detalhados feitos conforme Passos 3–5) um momento de inércia hipotético I\approx 2{,}87\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4 e distância até a fibra extrema y=50\\ \mathrm{mm}.
  • Com M=25\times10^{6}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}:
\sigma \approx -\dfrac{25\times10^{6}\times 50}{2{,}87\times10^{6}}\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 \approx -436\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 \;( \text{ou } -436\\ \mathrm{MPa}).
Importante: este número é só um exemplo didático para mostrar as etapas de cálculo. NÃO corresponde ao seu problema porque as dimensões reais e a posição de C não foram fornecidas.

Passo 8

Resumo do que você precisa colher da figura/enunciado para resolver de verdade (o que leve para a prova)
  • As dimensões completas do perfil em U: largura e espessura das abas, altura e espessura da alma, etc.
  • A posição exata do ponto C (medida até a base ou outro referencial).
  • A convenção de sinais (se desejar interpretar tração/compressão).
    Com esses dados, aplica-se exatamente os passos 3–6 e obtém-se a tensão em C.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a tensão em C porque a figura com as dimensões do perfil em U e a posição do ponto C não foram fornecidas. A expressão geral a aplicar é \displaystyle \sigma=-\dfrac{M\,y}{I}, onde M=25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} (convertido conforme unidades), y é a distância de C ao eixo neutro e I é o segundo momento de área da seção.

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