Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade
são aplicados à viga
constituída de um perfil U. Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá estas informações (vou listar exatamente o que tenho):
- Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade
atuam na viga . - A viga tem seção em perfil
. - A flexão ocorre em um plano horizontal.
- Pede-se: determinar a tensão no ponto
.
Informações essenciais que o enunciado NÃO forneceu (sem isto não dá pra calcular numericamente):
- As dimensões da seção em U (largura das abas, espessura das abas, altura do alma, espessura do alma, etc.).
- A posição (coordenadas) do ponto
dentro da seção (distância do centro geométrico / eixo neutro). - A orientação exata do eixo neutro em relação à geometria (normalmente depende da seção e do plano de flexão; para flexão em plano horizontal o momento age em torno de um eixo vertical).
- (Material não é necessário para tensão de flexão linear; então falta apenas geometria e posição de
.)
Conclusão deste passo: com os dados do enunciado não é possível obter um valor numérico da tensão em
. A seguir eu ensino, passo a passo e de modo didático, como proceder assim que tiveres a geometria e a posição de
.
Passo 2
Princípio fundamental usado: tensão normal por flexão simples (hipótese de Bernoulli — seções planas permanecem planas). Fórmula básica:
Explicando cada símbolo e unidades:
-
é a tensão normal de flexão no ponto (unidade SI: ). Sinal negativo indica compressão se estiver no sentido que gera compressão. -
é o momento fletor em torno do eixo neutro (unidade SI: ). No teu caso . -
é o segundo momento de área (momento de inércia) da seção em relação ao eixo neutro (unidade SI: ). -
é a distância perpendicular do eixo neutro até o ponto considerado (unidade: ). Convenção: para um lado do eixo neutro, para o outro; produto dá o sinal da tensão.
Comentário sobre o sinal e eixo: como a flexão é em plano horizontal, o momento está girando a seção em torno de um eixo vertical. Logo o eixo neutro a considerar é o eixo vertical que passa pelo centróide da seção (se a seção for simétrica em relação ao plano de flexão, o eixo neutro passará pelo centróide; caso contrário, há que calcular o centróide).
Passo 3
Como obter
(e o eixo neutro / centróide) para um perfil em U — método prático (completo, passo a passo):
- Decompor a seção em U em áreas primitivas simples (normalmente três retângulos): duas abas (flanges) e o alma (web).
- Denotar as dimensões típicas: para cada flange largura
e espessura ; para o alma altura (distância entre as abas) e espessura .
- Denotar as dimensões típicas: para cada flange largura
- Calcular as áreas de cada peça:
(aqui cada peça é um retângulo; unidades ). - Determinar a posição do centróide de cada peça em relação a um eixo de referência (por exemplo, escolher o bordo inferior da seção como
e medir para cima). Para um retângulo a coordenada do centróide é a metade da sua altura local. - Calcular a coordenada do centróide da seção completa:
onde é a coordenada do centróide da i-ésima peça. - Para cada peça calcular o momento de inércia em torno do seu próprio centróide paralelo ao eixo neutro (para um retângulo de base
e altura , o momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo centróide e é paralelo à base é) - Usar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para deslocar cada
até o eixo neutro da seção completa: onde é a distância entre o centróide da peça e o eixo neutro . - Somar:
Isto dá o
necessário para a fórmula da flexão.
Observações práticas:
- Cuidado com unidades: se medes dimensões em mm, usa
em e em para obter em . - Se a seção for simétrica em relação ao plano de flexão,
será óbvio (ex.: centro geométrico), e o processo simplifica-se.
Passo 4
Como obter
(a distância do eixo neutro até o ponto
):
- A posição de
tem que ser conhecida a partir do desenho: normalmente é dada por coordenadas na seção. - Determina-se a distância perpendicular do eixo neutro (que já foi localizada no Passo 3) até
: (com o sinal apropriado). - Se a pergunta pede a tensão na fibra externa superior ou inferior, então
será o valor máximo igual à distância do neutro até a fibra mais afastada.
Passo 5
Aplicação final da fórmula, com atenção às unidades:
- Converter
para as unidades compatíveis com e . Exemplos: - Se medes tudo em metros: usar
, em , em → em . - Se medes tudo em mm: usar
(porque ), em , em → em .
- Se medes tudo em metros: usar
- Calcular
- O valor absoluto
dá a magnitude da tensão; o sinal indica compressão ou tração conforme convenção.
- O valor absoluto
Passo 6
Pequeno exemplo ilustrativo (hipotético) para visualizar o procedimento — ATENÇÃO: isto é apenas um exemplo com valores inventados para explicar as contas; não use este número como resposta ao teu exercício a menos que a geometria seja exatamente igual.
- Suponha um U com: cada flange
, ; alma , . Monta as três áreas, acha , calcula via Steiner e, por fim, toma na borda externa com . Converter e calcular . O procedimento é exatamente o do Passo 3 e Passo 5; os cálculos numéricos seriam só aritmética repetitiva. (Se quiser, faço esse exemplo numérico completo com esses valores.)
Passo 7
Resumo prático e checklist para aplicar direto na prova:
- Pega a figura/medidas do perfil U e do ponto
. - Decompõe a seção em retângulos e calcula
e . - Calcula
. - Calcula
. - Calcula
(distância perpendicular ao eixo neutro). - Converte unidades consistentemente e usa
. - Lembra de interpretar o sinal (compressão/tração) e dar resultado em
ou .
Resposta
Não é possível determinar numericamente a tensão em
porque a geometria da seção em U e a posição do ponto
não foram fornecidas. A tensão de flexão a ser calculada, assim que esses dados forem conhecidos, é
onde
,
é o segundo momento de área da seção em relação ao eixo neutro e
é a distância do eixo neutro até o ponto
.