Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} são aplicados à viga A B constituída de um perfil U. Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no ponto E.

Passo 1

O enunciado dá estas informações (vou listar exatamente o que tenho):
  • Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} atuam na viga AB.
  • A viga tem seção em perfil U.
  • A flexão ocorre em um plano horizontal.
  • Pede-se: determinar a tensão no ponto E.
Informações essenciais que o enunciado NÃO forneceu (sem isto não dá pra calcular numericamente):
  • As dimensões da seção em U (largura das abas, espessura das abas, altura do alma, espessura do alma, etc.).
  • A posição (coordenadas) do ponto E dentro da seção (distância do centro geométrico / eixo neutro).
  • A orientação exata do eixo neutro em relação à geometria (normalmente depende da seção e do plano de flexão; para flexão em plano horizontal o momento age em torno de um eixo vertical).
  • (Material não é necessário para tensão de flexão linear; então falta apenas geometria e posição de E.)
Conclusão deste passo: com os dados do enunciado não é possível obter um valor numérico da tensão em E. A seguir eu ensino, passo a passo e de modo didático, como proceder assim que tiveres a geometria e a posição de E.

Passo 2

Princípio fundamental usado: tensão normal por flexão simples (hipótese de Bernoulli — seções planas permanecem planas). Fórmula básica:
\sigma = -\frac{M}{I}\,y.
Explicando cada símbolo e unidades:
  • \sigma é a tensão normal de flexão no ponto (unidade SI: \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^2}). Sinal negativo indica compressão se y estiver no sentido que gera compressão.
  • M é o momento fletor em torno do eixo neutro (unidade SI: \mathrm{N\cdot m}). No teu caso M=25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=25\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • I é o segundo momento de área (momento de inércia) da seção em relação ao eixo neutro (unidade SI: \mathrm{m^4}).
  • y é a distância perpendicular do eixo neutro até o ponto considerado (unidade: \mathrm{m}). Convenção: y>0 para um lado do eixo neutro, y<0 para o outro; produto \frac{M}{I}y dá o sinal da tensão.
Comentário sobre o sinal e eixo: como a flexão é em plano horizontal, o momento está girando a seção em torno de um eixo vertical. Logo o eixo neutro a considerar é o eixo vertical que passa pelo centróide da seção (se a seção for simétrica em relação ao plano de flexão, o eixo neutro passará pelo centróide; caso contrário, há que calcular o centróide).

Passo 3

Como obter I (e o eixo neutro / centróide) para um perfil em U — método prático (completo, passo a passo):
  1. Decompor a seção em U em áreas primitivas simples (normalmente três retângulos): duas abas (flanges) e o alma (web).
    • Denotar as dimensões típicas: para cada flange largura b_f e espessura t_f; para o alma altura h_w (distância entre as abas) e espessura t_w.
  2. Calcular as áreas de cada peça: A_i = b_i\cdot h_i(aqui cada peça é um retângulo; unidades \mathrm{m^2}).
  3. Determinar a posição do centróide de cada peça em relação a um eixo de referência (por exemplo, escolher o bordo inferior da seção como y=0 e medir para cima). Para um retângulo a coordenada do centróide é a metade da sua altura local.
  4. Calcular a coordenada do centróide da seção completa: \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i},onde y_i é a coordenada do centróide da i-ésima peça.
  5. Para cada peça calcular o momento de inércia em torno do seu próprio centróide paralelo ao eixo neutro (para um retângulo de base b e altura h, o momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo centróide e é paralelo à base é) I_{c,i}=\frac{b h^3}{12}.
  6. Usar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para deslocar cada I_{c,i} até o eixo neutro da seção completa: I_i = I_{c,i} + A_i d_i^2,onde d_i é a distância entre o centróide da peça e o eixo neutro \bar{y}.
  7. Somar: I = \sum I_i.
Isto dá o I necessário para a fórmula da flexão.
Observações práticas:
  • Cuidado com unidades: se medes dimensões em mm, usa M em \mathrm{N\cdot mm} e I em \mathrm{mm^4} para obter \sigma em \mathrm{N/mm^2}=\mathrm{MPa}.
  • Se a seção for simétrica em relação ao plano de flexão, \bar{y} será óbvio (ex.: centro geométrico), e o processo simplifica-se.

Passo 4

Como obter y (a distância do eixo neutro até o ponto E):
  • A posição de E tem que ser conhecida a partir do desenho: normalmente é dada por coordenadas x_E,y_E na seção.
  • Determina-se a distância perpendicular do eixo neutro (que já foi localizada no Passo 3) até E: y = y_E - \bar{y} (com o sinal apropriado).
  • Se a pergunta pede a tensão na fibra externa superior ou inferior, então y será o valor máximo c igual à distância do neutro até a fibra mais afastada.

Passo 5

Aplicação final da fórmula, com atenção às unidades:
  1. Converter M para as unidades compatíveis com I e y. Exemplos:
    • Se medes tudo em metros: usar M=25\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}, I em \mathrm{m^4}, y em \mathrm{m} \sigma em \mathrm{N/m^2}.
    • Se medes tudo em mm: usar M=25\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm} (porque 1\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm}\Rightarrow 1\\ \mathrm{N\cdot m}=10^{3}\\ \mathrm{N\cdot mm}), I em \mathrm{mm^4}, y em \mathrm{mm} \sigma em \mathrm{N/mm^2}=\mathrm{MPa}.
  2. Calcular \sigma = -\frac{M}{I}\,y.
    • O valor absoluto |\sigma| dá a magnitude da tensão; o sinal indica compressão ou tração conforme convenção.

Passo 6

Pequeno exemplo ilustrativo (hipotético) para visualizar o procedimento — ATENÇÃO: isto é apenas um exemplo com valores inventados para explicar as contas; não use este número como resposta ao teu exercício a menos que a geometria seja exatamente igual.
  • Suponha um U com: cada flange b_f=100\\ \mathrm{mm}, t_f=8\\ \mathrm{mm}; alma h_w=200\\ \mathrm{mm}, t_w=8\\ \mathrm{mm}. Monta as três áreas, acha \bar{y}, calcula I via Steiner e, por fim, toma E na borda externa com y=c= (altura\\ total/2). Converter M=25\\ \mathrm{kN\cdot m}=25\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm} e calcular \sigma. O procedimento é exatamente o do Passo 3 e Passo 5; os cálculos numéricos seriam só aritmética repetitiva. (Se quiser, faço esse exemplo numérico completo com esses valores.)

Passo 7

Resumo prático e checklist para aplicar direto na prova:
  1. Pega a figura/medidas do perfil U e do ponto E.
  2. Decompõe a seção em retângulos e calcula A_i e y_i.
  3. Calcula \bar{y}=\dfrac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}.
  4. Calcula I=\sum\left(\dfrac{b_i h_i^3}{12} + A_i (y_i-\bar{y})^2\right).
  5. Calcula y = y_E - \bar{y} (distância perpendicular ao eixo neutro).
  6. Converte unidades consistentemente e usa \sigma = -\dfrac{M}{I}y.
  7. Lembra de interpretar o sinal (compressão/tração) e dar resultado em \mathrm{MPa} ou \mathrm{N/mm^2}.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a tensão em E porque a geometria da seção em U e a posição do ponto E não foram fornecidas. A tensão de flexão a ser calculada, assim que esses dados forem conhecidos, é
\sigma = -\frac{M}{I}\,y,
onde M=25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}, I é o segundo momento de área da seção em relação ao eixo neutro e y é a distância do eixo neutro até o ponto E.

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