Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade
.m são aplicados à viga AB constituída de um perfil U. Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no ponto E
Passo 1
O enunciado pede para determinar a tensão no ponto
da seção em U quando a viga é submetida a dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade
que fazem a viga flexionar em um plano horizontal.
Informações relevantes fornecidas (peguei estes dados da imagem):
- Momento aplicado:
. - Geometria do perfil (valores tirados da imagem):
- Altura total da alma:
. - Largura do flange (extensão horizontal a partir da alma):
. - Espessura dos flanges (espessura vertical):
(superior e inferior). - Espessura da alma (largura horizontal da alma):
.
- Altura total da alma:
- Localização do ponto
: ponto dentro da alma, aproximadamente no meio da espessura da alma. Vou assumir que fica no centro da espessura da alma (ou seja, a da face esquerda da alma), porque a figura mostra o ponto no meio da espessura; se isso não for o caso, a metodologia é a mesma, só muda a distância até o centróide.
A tarefa é: calcular a tensão normal
no ponto
provocada pelo momento que flexiona a seção em torno do eixo vertical (flexão no plano horizontal).
Passo 2
Relembrando a fórmula básica da flexão (aqui aplicada para flexão em torno do eixo vertical):
onde:
-
é a tensão normal no ponto considerado (positivo se tração, negativo se compressão, dependendo da convenção de sinal escolhida); -
é o momento fletor aplicado em relação ao eixo (aqui, o momento que causa curvatura no plano horizontal — momento em ); -
é a distância horizontal do centróide da seção ao ponto onde se quer a tensão (positivo para a direita, negativo para a esquerda conforme sistema escolhido); -
é o segundo momento de área (momento de inércia) da seção em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide da seção.
Vou usar a convenção: eixo
horizontal, referência
na face externa esquerda da alma; centróide da seção em
; então a distância do centróide ao ponto
é
. A tensão no ponto
será
Antes de aplicar essa fórmula preciso determinar
,
e
.
Passo 3
Dividir a seção em três retângulos simples (usando as dimensões da imagem):
- Alma (vertical): largura
, altura . Área . - Flange superior: largura (no sentido horizontal)
, espessura (no sentido vertical) . Área . - Flange inferior: mesma que o superior.
Calcular as áreas (tudo em
):
Posições dos centróides (distância horizontal a partir da face esquerda da alma, que tomamos como referência):
- Centròide da alma:
(porque a alma começa na face esquerda e tem espessura ). - Centròide dos flanges (superior e inferior):
(cada flange tem seu centróide a da face esquerda da alma).
Agora calculo o centróide da seção composta na direção horizontal:
Substituindo números:
Passo 4
Efetuando as multiplicações e a soma:
Portanto o numerador é
O denominador é
Então
Interpretação: o centróide da seção está a aproximadamente
da face esquerda da alma, ou seja, deslocado para a direita em razão dos dois flanges.
Passo 5
Posição do ponto
: pela suposição (vista na figura)
está no centro da espessura da alma, então
Logo a distância do ponto
ao centróide (no sinal que usaremos) é
O sinal negativo indica que
está à esquerda do centróide.
Passo 6
Agora calculo o segundo momento de área total
em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide da seção. Uso a soma das contribuições das três peças (teorema dos eixos paralelos):
Para um retângulo com largura
na direção
e altura
na direção vertical, o momento de inércia em torno de um eixo vertical que passa pelo seu próprio centróide é
Calcular
de cada peça:
- Alma (local, em seu próprio centróide vertical):
Calculemos
, então
Distância do centróide da alma ao centróide total:
.
Contribuição pelo teorema dos eixos paralelos:
Contribuição pelo teorema dos eixos paralelos:
Calcule
(usando vírgula para decimais). Então
Logo
- Flange superior (local):
Calcule
, então
Distância do centróide do flange ao centróide total:
.
Contribuição de cada flange:
Contribuição de cada flange:
Calcule
. Então
Logo cada flange contribui
Como há dois flanges (superior e inferior), a soma das contribuições dos flanges é aproximadamente
Passo 7
Somando todas contribuições:
Portanto o momento de inércia da seção em relação ao eixo vertical centroidal é aproximadamente
Passo 8
Converter o momento aplicado para unidades compatíveis e calcular a tensão:
Momento dado
. Converter para
:
Usando a fórmula da flexão:
Substituindo valores numéricos (todas as quantidades em unidades coerentes):
Observe que o sinal duplo negativo dará tensão positiva (tração) no ponto
. Agora calcule o valor:
Em unidades mais usuais,
, portanto
Passo 9
Interpretação do sinal: como fizemos a conta com
e obtivemos um resultado positivo, isso indica que o ponto
está sob tração (tensão de tração) para o sentido do momento adotado. Se a orientação do momento na figura fosse invertida, a natureza (tração/compressão) também invertia.
Verificação rápida de plausibilidade: valor de ordem de dezenas de MPa para um momento de
numa seção metálica com estas dimensões é razoável.