Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade \mathrm{M}=25 \mathrm{kN}.m são aplicados à viga AB constituída de um perfil U. Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no ponto E

Passo 1

O enunciado pede para determinar a tensão no ponto E da seção em U quando a viga é submetida a dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25\\ \text{kN}\cdot\text{m} que fazem a viga flexionar em um plano horizontal.
Informações relevantes fornecidas (peguei estes dados da imagem):
  • Momento aplicado: M=25\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • Geometria do perfil (valores tirados da imagem):
    • Altura total da alma: 180\\ \text{mm}.
    • Largura do flange (extensão horizontal a partir da alma): 120\\ \text{mm}.
    • Espessura dos flanges (espessura vertical): 30\\ \text{mm} (superior e inferior).
    • Espessura da alma (largura horizontal da alma): 36\\ \text{mm}.
  • Localização do ponto E: ponto dentro da alma, aproximadamente no meio da espessura da alma. Vou assumir que E fica no centro da espessura da alma (ou seja, a 18\\ \text{mm} da face esquerda da alma), porque a figura mostra o ponto no meio da espessura; se isso não for o caso, a metodologia é a mesma, só muda a distância até o centróide.
A tarefa é: calcular a tensão normal \sigma_E no ponto E provocada pelo momento que flexiona a seção em torno do eixo vertical (flexão no plano horizontal).

Passo 2

Relembrando a fórmula básica da flexão (aqui aplicada para flexão em torno do eixo vertical):
\sigma = -\dfrac{M\,x}{I}
onde:
  • \sigma é a tensão normal no ponto considerado (positivo se tração, negativo se compressão, dependendo da convenção de sinal escolhida);
  • M é o momento fletor aplicado em relação ao eixo (aqui, o momento que causa curvatura no plano horizontal — momento em \text{kN}\cdot\text{m});
  • x é a distância horizontal do centróide da seção ao ponto onde se quer a tensão (positivo para a direita, negativo para a esquerda conforme sistema escolhido);
  • I é o segundo momento de área (momento de inércia) da seção em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide da seção.
Vou usar a convenção: eixo x horizontal, referência x=0 na face externa esquerda da alma; centróide da seção em x=\bar{x}; então a distância do centróide ao ponto E é x_E-\bar{x}. A tensão no ponto E será
\sigma_E = -\dfrac{M\,(x_E-\bar{x})}{I}.
Antes de aplicar essa fórmula preciso determinar \bar{x}, I e x_E.

Passo 3

Dividir a seção em três retângulos simples (usando as dimensões da imagem):
  • Alma (vertical): largura b_w=36\\ \text{mm}, altura h_w=180\\ \text{mm}. Área A_w=b_w h_w.
  • Flange superior: largura (no sentido horizontal) b_f=120\\ \text{mm}, espessura (no sentido vertical) h_f=30\\ \text{mm}. Área A_f=b_f h_f.
  • Flange inferior: mesma que o superior.
Calcular as áreas (tudo em \text{mm}^2):
A_w = 36\cdot180=6480\\ \text{mm}^2, \qquad A_f = 120\cdot30=3600\\ \text{mm}^2.
Posições dos centróides (distância horizontal a partir da face esquerda da alma, que tomamos como referência):
  • Centròide da alma: x_w = \dfrac{36}{2}=18\\ \text{mm} (porque a alma começa na face esquerda e tem espessura 36\\ \text{mm}).
  • Centròide dos flanges (superior e inferior): x_f = \dfrac{120}{2}=60\\ \text{mm} (cada flange tem seu centróide a 60\\ \text{mm} da face esquerda da alma).
Agora calculo o centróide da seção composta na direção horizontal:
\bar{x}=\dfrac{A_w x_w + A_f x_f + A_f x_f}{A_w + A_f + A_f}.
Substituindo números:
\bar{x}=\dfrac{6480\cdot18 + 3600\cdot60 + 3600\cdot60}{6480+3600+3600}.

Passo 4

Efetuando as multiplicações e a soma:
6480\cdot18 = 116640, \qquad 3600\cdot60 = 216000.
Portanto o numerador é
116640 + 216000 + 216000 = 548640.
O denominador é
6480 + 3600 + 3600 = 13680.
Então
\bar{x}=\dfrac{548640}{13680}\approx 40{,}12\\ \text{mm}.
Interpretação: o centróide da seção está a aproximadamente 40{,}12\\ \text{mm} da face esquerda da alma, ou seja, deslocado para a direita em razão dos dois flanges.

Passo 5

Posição do ponto E: pela suposição (vista na figura) E está no centro da espessura da alma, então
x_E = 18\\ \text{mm}.
Logo a distância do ponto E ao centróide (no sinal que usaremos) é
x_E-\bar{x}=18 - 40{,}12 = -22{,}12\\ \text{mm}.
O sinal negativo indica que E está à esquerda do centróide.

Passo 6

Agora calculo o segundo momento de área total I em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide da seção. Uso a soma das contribuições das três peças (teorema dos eixos paralelos):
Para um retângulo com largura b na direção x e altura h na direção vertical, o momento de inércia em torno de um eixo vertical que passa pelo seu próprio centróide é
I_{\text{centro,vertical}} = \dfrac{h\,b^3}{12}.
Calcular I de cada peça:
  1. Alma (local, em seu próprio centróide vertical):
I_{w,\text{local}}=\dfrac{h_w\,b_w^3}{12}=\dfrac{180\cdot36^3}{12}.
Calculemos 36^3=46656, então
I_{w,\text{local}}=\dfrac{180\cdot46656}{12}=\dfrac{8\,398\,080}{12}=699\,840\\ \text{mm}^4.
Distância do centróide da alma ao centróide total: d_w=x_w-\bar{x}=18-40{,}12=-22{,}12\\ \text{mm}.
Contribuição pelo teorema dos eixos paralelos:
I_w = I_{w,\text{local}} + A_w d_w^2 = 699\,840 + 6480\cdot(22{,}12)^2.
Calcule d_w^2=(22{,}12)^2\approx 489{,}35 (usando vírgula para decimais). Então
A_w d_w^2 = 6480\cdot489{,}35 \approx 3\,170\,988\\ \text{mm}^4.
Logo
I_w \approx 699\,840 + 3\,170\,988 = 3\,870\,828\\ \text{mm}^4.
  1. Flange superior (local):
I_{f,\text{local}}=\dfrac{h_f\,b_f^3}{12}=\dfrac{30\cdot120^3}{12}.
Calcule 120^3=1\,728\,000, então
I_{f,\text{local}}=\dfrac{30\cdot1\,728\,000}{12}=\dfrac{51\,840\,000}{12}=4\,320\,000\\ \text{mm}^4.
Distância do centróide do flange ao centróide total: d_f=x_f-\bar{x}=60-40{,}12=19{,}88\\ \text{mm}.
Contribuição de cada flange:
I_{f} = I_{f,\text{local}} + A_f d_f^2 = 4\,320\,000 + 3600\cdot(19{,}88)^2.
Calcule d_f^2\approx 19{,}88^2=395{,}2144. Então
3600\cdot395{,}2144 \approx 1\,422\,772\\ \text{mm}^4.
Logo cada flange contribui
I_f \approx 4\,320\,000 + 1\,422\,772 = 5\,742\,772\\ \text{mm}^4.
Como há dois flanges (superior e inferior), a soma das contribuições dos flanges é aproximadamente
2\cdot5\,742\,772 = 11\,485\,544\\ \text{mm}^4.

Passo 7

Somando todas contribuições:
I = I_w + 2\cdot I_f \approx 3\,870\,828 + 11\,485\,544 = 15\,356\,372\\ \text{mm}^4.
Portanto o momento de inércia da seção em relação ao eixo vertical centroidal é aproximadamente \,I\approx 1{,}5356\times10^{7}\\ \text{mm}^4.

Passo 8

Converter o momento aplicado para unidades compatíveis e calcular a tensão:
Momento dado M=25\\ \text{kN}\cdot\text{m}. Converter para \text{N}\cdot\text{mm}:
M = 25\\ \text{kN}\cdot\text{m} = 25\times10^{3}\\ \text{N}\times10^{3}\\ \text{mm} = 25{,}0\times10^{6}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Usando a fórmula da flexão:
\sigma_E = -\dfrac{M\,(x_E-\bar{x})}{I}.
Substituindo valores numéricos (todas as quantidades em unidades coerentes):
\sigma_E = -\dfrac{25{,}0\times10^{6}\cdot(-22{,}12)}{15\,356\,372}\\ \text{N}/\text{mm}^2.
Observe que o sinal duplo negativo dará tensão positiva (tração) no ponto E. Agora calcule o valor:
\text{numerador}=25{,}0\times10^{6}\times22{,}12 = 553{,}0\times10^{6}.
\sigma_E \approx \dfrac{553{,}0\times10^{6}}{15\,356\,372} \approx 36{,}0\\ \text{N}/\text{mm}^2.
Em unidades mais usuais, \text{N}/\text{mm}^2=\text{MPa}, portanto
\sigma_E \approx 36{,}0\\ \text{MPa}.

Passo 9

Interpretação do sinal: como fizemos a conta com \sigma_E = -M(x_E-\bar{x})/I e obtivemos um resultado positivo, isso indica que o ponto E está sob tração (tensão de tração) para o sentido do momento adotado. Se a orientação do momento na figura fosse invertida, a natureza (tração/compressão) também invertia.
Verificação rápida de plausibilidade: valor de ordem de dezenas de MPa para um momento de 25\\ \text{kN}\cdot\text{m} numa seção metálica com estas dimensões é razoável.

Resposta

\sigma_E \approx 36{,}0\\ \text{MPa} (tração)

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