Dois recipientes contém a mesma quantidade de gás ideal no mesmo estado de equilíbrio, (pA, VA, TA). As amostras de gás são submetidas a processos cíclicos constituídos por: (i) uma expansão isotérmica (A→B), uma compressão isobárica (B→C), e um processo isocórico (C→A). (ii) uma expansão adiabática (A→D), uma compressão isobárica (D→C), e um processo isocórico (C→A). Acima, A, B, C e D denotam estados termodinâmicos de equilíbrio, de forma que A e C são estados comuns a ambos os ciclos. As temperaturas dos estados B e D, bem como seus volumes, são tais que:
a) TB > TD e VB > VD.
b) TB > TD e VB < VD.
c) TB < TD e VB > VD.
d) TB < TD e VB < VD.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois recipientes que têm a mesma quantidade de gás ideal nas mesmas condições iniciais de equilíbrio, ou seja, pressão $ p_A $, volume $ V_A $ e temperatura $ T_A $. Cada recipiente passa por um ciclo termodinâmico diferente:
  1. Ciclo (i):
    • Expansão isotérmica (A→B): Temperatura constante.
    • Compressão isobárica (B→C): Pressão constante.
    • Processo isocórico (C→A): Volume constante.
  2. Ciclo (ii):
    • Expansão adiabática (A→D): Sem troca de calor.
    • Compressão isobárica (D→C): Pressão constante.
    • Processo isocórico (C→A): Volume constante.
Queremos descobrir qual das opções mostra corretamente a relação entre as temperaturas $ T_B $ e $ T_D $, e os volumes $ V_B $ e $ V_D $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada processo significa:
  • Expansão isotérmica: O gás se expande mantendo a temperatura constante. Usamos a Lei de Boyle: $ pV = constante $.
  • Expansão adiabática: O gás se expande sem troca de calor, então a temperatura muda. Aqui aplicamos a Lei de Poisson: $ pV^\gamma = constante $, onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $.
  • Compressão isobárica: Compressão com pressão constante. A Lei de Charles nos diz que $ \frac{V}{T} = constante $ quando a pressão é constante.
  • Processo isocórico: Volume constante, logo a pressão e a temperatura variam proporcionalmente, conforme a Lei de Gay-Lussac: $ \frac{p}{T} = constante $.

Passo 3

Vamos analisar o Ciclo (i):
  1. A→B (Isotérmica): Temperatura $ T_A = T_B $ (já que é isotérmica).
  2. B→C (Isobárica): De $ B $ para $ C $, a pressão é constante e o volume diminui, então pela Lei de Charles, a temperatura também diminui: $ T_C < T_B $.
  3. C→A (Isocórica): Volume constante, voltamos ao estado $ A $, então a temperatura volta para $ T_A $.
Agora, o Ciclo (ii):
  1. A→D (Adiabática): Sem troca de calor, e como o gás se expande, a temperatura diminui: $ T_D < T_A $.
  2. D→C (Isobárica): Compressão com pressão constante, então o volume aumenta e a temperatura aumenta: $ T_C > T_D $.
  3. C→A (Isocórica): Volume constante, voltamos para $ T_A $.

Passo 4

Comparando os dois ciclos:
  • No Ciclo (i), chegamos a $ T_B = T_A $.
  • No Ciclo (ii), chegamos a $ T_D < T_A $.
Portanto, $ T_B > T_D $.
Agora, olhando para os volumes:
  • No Ciclo (i), durante a expansão isotérmica, o volume aumenta de $ V_A $ para $ V_B $. Porém, após a compressão isobárica, o volume retorna para $ V_A $.
  • No Ciclo (ii), durante a expansão adiabática, o volume aumenta de $ V_A $ para $ V_D $. Depois, na compressão isobárica, o volume diminui de volta para $ V_A $.
Observando isso, percebemos que $ V_B $ é menor que $ V_D $, porque no Ciclo (i) a expansão é isotérmica (menos intensa que a adiabática), resultando em um aumento menor do volume.

Resposta

A opção correta é a b) $ T_B > T_D $ e $ V_B < V_D $.

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