Dois satélites de um planeta hipotético têm períodos de revolução iguais a 32 dias e 256 dias, respectivamente. Se o raio da órbita do primeiro satélite vale 5 unidades, qual o raio da órbita do segundo?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre dois satélites que giram ao redor de um planeta com períodos de revolução de 32 dias e 256 dias. O objetivo é descobrir o raio da órbita do segundo satélite, sabendo que o primeiro tem um raio de 5 unidades. Vamos usar a Lei de Kepler, que relaciona o período de revolução dos satélites com o raio de suas órbitas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a Lei de Kepler que diz que o quadrado do período de revolução ( T) de um satélite é proporcional ao cubo do raio da órbita ( r). A fórmula fica assim:
T^2 propto r^3
Isso significa que podemos comparar os dois satélites usando essa relação.

Passo 3

Vamos chamar T1 = 32 dias e T2 = 256 dias, que são os períodos dos satélites. E r1 = 5 unidades é o raio da órbita do primeiro satélite. Queremos encontrar r2, o raio da órbita do segundo satélite.

Passo 4

Usando a relação da Lei de Kepler para os dois satélites, temos:
T1^2T2^2 = r1^3r2^3
Vamos isolar r2^3:
r2^3 = r1^3 cdot (T2T1)^2

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação:
r2^3 = 5^3 cdot (25632)^2
Calculando isso:
5^3 = 125
25632 = 8
8^2 = 64
r2^3 = 125 cdot 64 = 8000

Passo 6

Para encontrar r2, tiramos a raiz cúbica de 8000:
r2 = raiz[3]8000 = 20

Resposta

O raio da órbita do segundo satélite é 20 unidades.

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