Dê o domínio e esboce o gráfico.
y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o domínio da função y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x} e (2) esboçar o gráfico dessa função.
Informações dadas: a função é a soma de duas raízes quadradas, com radicandos x-1 e 3-x.

Passo 2

Condição para existência (domínio): cada radicando deve ser não negativo. Escrevemos as duas desigualdades e as combinamos:
x-1 \ge 0
3-x \ge 0
A primeira dá
x \ge 1,
a segunda dá
x \le 3.
Combinando-as, o x deve satisfazer simultaneamente x\ge1 e x\le3. Logo o domínio é o intervalo
[1,3].
Explicação didática curta: raízes quadradas reais só existem para radicando \ge0. Sempre verifique cada radicando separadamente e depois faça a intersecção das condições.

Passo 3

Observações sobre continuidade e comportamento geral:
  • Cada termo \sqrt{x-1} e \sqrt{3-x} é contínuo em seu domínio de definição interior; a soma é contínua em (1,3).
  • Como os radicandos chegam a zero nos extremos x=1 e x=3, os extremos pertencem ao domínio e os valores da função nesses pontos serão finitos (não há descontinuidade removível).

Passo 4

Calcular derivada para estudar monotonicidade e extremos (aqui uso a regra: \dfrac{d}{dx}\sqrt{u(x)}=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}).
Começando com
y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x},
temos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}} - \frac{1}{2\sqrt{3-x}}.
Detalhe: para o segundo termo, u(x)=3-x tem u'(x)=-1, daí o sinal negativo.

Passo 5

Encontrar pontos críticos (onde \dfrac{dy}{dx}=0 ou derivada não existe). Igualamos a zero:
\frac{1}{2\sqrt{x-1}} - \frac{1}{2\sqrt{3-x}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{x-1}}=\frac{1}{\sqrt{3-x}}.
Invertendo ambos os lados (tanto faz igualar as raízes):
\sqrt{x-1}=\sqrt{3-x}.
Elevando ao quadrado:
x-1=3-x \quad\Longrightarrow\quad 2x=4 \quad\Longrightarrow\quad x=2.
Verificamos que x=2 pertence ao domínio [1,3], então é um candidato a extremo.

Passo 6

Estudar o sinal da derivada para concluir se x=2 é máximo ou mínimo. Compare termos em \dfrac{dy}{dx}:
  • Se 1<x<2, então x-1<3-x e portanto \sqrt{x-1}<\sqrt{3-x}. Tomando recíprocos, \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}>\dfrac{1}{\sqrt{3-x}}. Logo \dfrac{dy}{dx}>0 em (1,2): função crescente ali.
  • Se 2<x<3, então \sqrt{x-1}>\sqrt{3-x} e assim \dfrac{dy}{dx}<0 em (2,3): função decrescente ali.
Conclusão: x=2 é um ponto de máximo local (na verdade global no domínio).

Passo 7

Calcular os valores principais da função para esboço:
y(1)=\sqrt{1-1}+\sqrt{3-1}=0+\sqrt{2}=\sqrt{2}.
y(2)=\sqrt{2-1}+\sqrt{3-2}=1+1=2.
y(3)=\sqrt{3-1}+\sqrt{3-3}=\sqrt{2}+0=\sqrt{2}.
Portanto os pontos-chave são (1,\sqrt{2}), (2,2) e (3,\sqrt{2}). O valor máximo é 2 em x=2; nos extremos do domínio o valor é \sqrt{2}.

Passo 8

Simetria e comportamento nas bordas:
  • A função é simétrica em torno de x=2, pois substituindo x=2+t obtemos
y=\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t},
que é uma função par em t. Isso explica porque os valores em x=1 e x=3 coincidem e o pico está em x=2.
  • Tangentes nas extremidades: conforme x\to1^+ temos \sqrt{x-1}\to0 e \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}\to+\infty, logo a derivada tende a +\infty e a curva fica muito íngreme à esquerda; simetricamente, conforme x\to3^- a derivada tende a -\infty. Isto implica “ponta” vertical suave nas bordas (tangente muito inclinada).

Passo 9

Esboço do gráfico (instruções passo a passo para desenhar à mão):
  • Desenhe o eixo x marcando x=1,2,3.
  • No eixo y marque y=\sqrt{2}\approx1{,}414 e y=2.
  • Marque os pontos (1,\sqrt{2}), (2,2), (3,\sqrt{2}).
  • Ligue os pontos com uma curva contínua que cresce rapidamente de (1,\sqrt{2}) até (2,2) e depois decresce simetricamente até (3,\sqrt{2}). A curva é simétrica em x=2 e tem inclinações muito grandes perto de x=1 e x=3.

Resposta

Domínio: [1,3]
Esboço (valores e pontos-chave): máximo em (2,2); valores nas bordas (1,\sqrt{2}) e (3,\sqrt{2}); função cresce em [1,2] e decresce em [2,3], com simetria em x=2.