Dê o domínio e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o domínio da função
e (2) esboçar o gráfico dessa função.
Informações dadas: a função é a soma de duas raízes quadradas, com radicandos e
.
Informações dadas: a função é a soma de duas raízes quadradas, com radicandos
Passo 2
Condição para existência (domínio): cada radicando deve ser não negativo. Escrevemos as duas desigualdades e as combinamos:
A primeira dá
a segunda dá
Combinando-as, o
deve satisfazer simultaneamente
e
. Logo o domínio é o intervalo
Explicação didática curta: raízes quadradas reais só existem para radicando
. Sempre verifique cada radicando separadamente e depois faça a intersecção das condições.
Passo 3
Observações sobre continuidade e comportamento geral:
- Cada termo
e é contínuo em seu domínio de definição interior; a soma é contínua em . - Como os radicandos chegam a zero nos extremos
e , os extremos pertencem ao domínio e os valores da função nesses pontos serão finitos (não há descontinuidade removível).
Passo 4
Calcular derivada para estudar monotonicidade e extremos (aqui uso a regra:
).
Começando com
Começando com
temos
Detalhe: para o segundo termo,
tem
, daí o sinal negativo.
Passo 5
Encontrar pontos críticos (onde
ou derivada não existe). Igualamos a zero:
Invertendo ambos os lados (tanto faz igualar as raízes):
Elevando ao quadrado:
Verificamos que
pertence ao domínio
, então é um candidato a extremo.
Passo 6
Estudar o sinal da derivada para concluir se
é máximo ou mínimo. Compare termos em
:
- Se
, então e portanto . Tomando recíprocos, . Logo em : função crescente ali. - Se
, então e assim em : função decrescente ali.
Conclusão:
é um ponto de máximo local (na verdade global no domínio).
Passo 7
Calcular os valores principais da função para esboço:
Portanto os pontos-chave são
,
e
. O valor máximo é
em
; nos extremos do domínio o valor é
.
Passo 8
Simetria e comportamento nas bordas:
- A função é simétrica em torno de
, pois substituindo obtemos
que é uma função par em
. Isso explica porque os valores em
e
coincidem e o pico está em
.
- Tangentes nas extremidades: conforme
temos e , logo a derivada tende a e a curva fica muito íngreme à esquerda; simetricamente, conforme a derivada tende a . Isto implica “ponta” vertical suave nas bordas (tangente muito inclinada).
Passo 9
Esboço do gráfico (instruções passo a passo para desenhar à mão):
- Desenhe o eixo
marcando . - No eixo
marque e . - Marque os pontos
, , . - Ligue os pontos com uma curva contínua que cresce rapidamente de
até e depois decresce simetricamente até . A curva é simétrica em e tem inclinações muito grandes perto de e .
Resposta
Domínio:
Esboço (valores e pontos-chave): máximo em ; valores nas bordas
e
; função cresce em
e decresce em
, com simetria em
.
Esboço (valores e pontos-chave): máximo em