Dê o domínio, a imagem e faça um esboço dos gráficos das seguintes funções
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
dada:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (o conjunto de valores assumidos por
). - Fazer um esboço do gráfico de
.
Informação fornecida pelo enunciado:
- A função é
.
Passo 2
Entender o que limita o domínio: a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de número negativo não é real (para o que precisamos aqui).
Portanto devemos impor
Portanto devemos impor
Esta é a única condição do enunciado que restringe
.
Passo 3
Resolver a desigualdade
.
Fatorando a diferença de quadrados temos
Para que o produto
seja não negativo,
deve estar em regiões onde os dois fatores têm o mesmo sinal. Os pontos críticos são
e
. Testando os intervalos gerados por estes pontos (ou usando a regra dos sinais), concluímos:
- Para
ambos os fatores são não positivos, o produto é não negativo. - Para
os fatores têm sinais opostos, o produto é negativo (não permitido). - Para
ambos os fatores são não negativos, o produto é não negativo.
Além disso, em
a expressão vale zero e
, portanto esses pontos pertencem ao domínio.
Conclusão do domínio:
Passo 4
Verificar valores notáveis e simetria:
- Em
e temos
- Observe que
é uma função par, pois
Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo
: o ramo para
espelha o ramo para
.
Passo 5
Determinar crescimento/decrescimento e mínimo:
Calculemos a derivada (para entender a forma dos ramos, isso ajuda muito num esboço):
Calculemos a derivada (para entender a forma dos ramos, isso ajuda muito num esboço):
- Para
temos e , então : é estritamente crescente em . - Para
temos e , então : é estritamente decrescente em quando consideramos aumentando (isto é, ao mover para a direita, o valor de diminui nessa porção). Em termos de forma do gráfico, o ramo à esquerda decresce quando avançamos para a direita e tem comportamento simétrico ao ramo direito.
Note também que em
o denominador da derivada é zero, então a derivada não está definida nesses pontos; o comportamento é de inclinação muito grande (tende a
), isto é, há uma espécie de “tangente vertical” na borda dos ramos.
Como
e a função é não negativa, esses pontos são valores mínimos. Portanto o menor valor de
é
, obtido em
.
Passo 6
Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) com argumentos limites:
- Como
sempre entrega valores não negativos, para todo do domínio. - Já vimos que
, então é realmente alcançado. - Para grandes
a função cresce sem limite: e .
Assim a imagem é o intervalo dos números reais não negativos:
Passo 7
Comportamento assintótico (ajuda no esboço): para esboçar sem calculadora é útil saber como a função se comporta para
muito grandes. Considere
Ao deixar
o denominador cresce e o quociente tende a
. Logo
ou seja, para
a função aproxima-se da reta
. Analogamente, para
obtém-se aproximação à reta
. Esses são assintóticos no sentido de que a diferença entre
e estas retas tende a zero.
Passo 8
Sugestões práticas para esboçar (passo a passo para desenhar rapidamente numa prova):
- Trace os pontos
e . - Lembre-se que a função não existe para
(não desenhar nesse intervalo). - Desenhe o ramo direito em
: começa em com inclinação muito grande (quase vertical) e sobe, aproximando-se da reta para valores grandes de . Exemplos de pontos fáceis para marcar: , . - Desenhe o ramo esquerdo simétrico em relação ao eixo
: começa em , sobe ao longo de quando se vai para a esquerda e aproxima-se da reta para . - Verifique a simetria: os dois ramos são imagens espelhadas um do outro.