Dê o domínio, a imagem e faça um esboço dos gráficos das seguintes funções
f(x)=\sqrt{x^{2}-4}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f dada:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (o conjunto de valores assumidos por f).
  • Fazer um esboço do gráfico de f.
Informação fornecida pelo enunciado:
  • A função é f(x)=\sqrt{x^{2}-4}.

Passo 2

Entender o que limita o domínio: a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de número negativo não é real (para o que precisamos aqui).
Portanto devemos impor
x^{2}-4 \ge 0.
Esta é a única condição do enunciado que restringe x.

Passo 3

Resolver a desigualdade \,x^{2}-4\ge 0.
Fatorando a diferença de quadrados temos
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Para que o produto (x-2)(x+2) seja não negativo, x deve estar em regiões onde os dois fatores têm o mesmo sinal. Os pontos críticos são x=-2 e x=2. Testando os intervalos gerados por estes pontos (ou usando a regra dos sinais), concluímos:
  • Para x\le -2 ambos os fatores são não positivos, o produto é não negativo.
  • Para -2<x<2 os fatores têm sinais opostos, o produto é negativo (não permitido).
  • Para x\ge 2 ambos os fatores são não negativos, o produto é não negativo.
Além disso, em x=\pm 2 a expressão vale zero e \sqrt{0}=0, portanto esses pontos pertencem ao domínio.
Conclusão do domínio:
\text{Dom}(f)=(-\infty,-2]\cup[2,\infty).

Passo 4

Verificar valores notáveis e simetria:
  • Em x=2 e x=-2 temos
f(2)=\sqrt{2^{2}-4}=\sqrt{0}=0,\qquad f(-2)=0.
  • Observe que f é uma função par, pois
f(-x)=\sqrt{(-x)^{2}-4}=\sqrt{x^{2}-4}=f(x).
Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y: o ramo para x\ge 2 espelha o ramo para x\le -2.

Passo 5

Determinar crescimento/decrescimento e mínimo:
Calculemos a derivada (para entender a forma dos ramos, isso ajuda muito num esboço):
f(x)=(x^{2}-4)^{1/2}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}-4)^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}.
  • Para x>2 temos x>0 e \sqrt{x^{2}-4}>0, então f'(x)>0: f é estritamente crescente em [2,\infty).
  • Para x<-2 temos x<0 e \sqrt{x^{2}-4}>0, então f'(x)<0: f é estritamente decrescente em (-\infty,-2] quando consideramos x aumentando (isto é, ao mover para a direita, o valor de f diminui nessa porção). Em termos de forma do gráfico, o ramo à esquerda decresce quando avançamos para a direita e tem comportamento simétrico ao ramo direito.
Note também que em x=\pm 2 o denominador da derivada é zero, então a derivada não está definida nesses pontos; o comportamento é de inclinação muito grande (tende a \pm\infty), isto é, há uma espécie de “tangente vertical” na borda dos ramos.
Como f(2)=f(-2)=0 e a função é não negativa, esses pontos são valores mínimos. Portanto o menor valor de f é 0, obtido em x=\pm 2.

Passo 6

Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) com argumentos limites:
  • Como \sqrt{\cdot} sempre entrega valores não negativos, \,f(x)\ge 0 para todo x do domínio.
  • Já vimos que f(\pm 2)=0, então 0 é realmente alcançado.
  • Para grandes |x| a função cresce sem limite: \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty e \lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty.
Assim a imagem é o intervalo dos números reais não negativos:
\text{Im}(f)=[0,\infty).

Passo 7

Comportamento assintótico (ajuda no esboço): para esboçar sem calculadora é útil saber como a função se comporta para x muito grandes. Considere
\sqrt{x^{2}-4}-x=\frac{x^{2}-4-x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}+x}=\frac{-4}{\sqrt{x^{2}-4}+x}.
Ao deixar x\to\infty o denominador cresce e o quociente tende a 0. Logo
\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}-4}-x\bigr)=0,
ou seja, para x\to\infty a função aproxima-se da reta y=x. Analogamente, para x\to-\infty obtém-se aproximação à reta y=-x. Esses são assintóticos no sentido de que a diferença entre f(x) e estas retas tende a zero.

Passo 8

Sugestões práticas para esboçar (passo a passo para desenhar rapidamente numa prova):
  1. Trace os pontos (2,0) e (-2,0).
  2. Lembre-se que a função não existe para -2<x<2 (não desenhar nesse intervalo).
  3. Desenhe o ramo direito em x\ge 2: começa em (2,0) com inclinação muito grande (quase vertical) e sobe, aproximando-se da reta y=x para valores grandes de x. Exemplos de pontos fáceis para marcar: f(3)=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\approx 2{,}24, f(4)=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}\approx 3{,}46.
  4. Desenhe o ramo esquerdo simétrico em relação ao eixo y: começa em (-2,0), sobe ao longo de (-\infty,-2] quando se vai para a esquerda e aproxima-se da reta y=-x para x\to -\infty.
  5. Verifique a simetria: os dois ramos são imagens espelhadas um do outro.

Resposta

\text{Dom}(f)=(-\infty,-2]\cup[2,\infty)
\text{Im}(f)=[0,\infty)