*** Duas cargas estão em paralelo. Carga 1: 5 \mathrm{~kW} com F P=1.0. Carga 2: 8 kVA com FP=0.8 atrasado. Calcule a potência complexa total (S_total) e o fator de potência da instalação.
  • Resposta: S_total =(11.4+\mathrm{j} 4.8) \mathrm{kVA}. \mid S_total \mid=12.37 \mathrm{kVA}. FP_total =0.921 atrasado.

Passo 1

Dados do enunciado (o que temos e o que pedem):
  • Carga 1: 5\\ \mathrm{kW} com fator de potência FP=1{,}0.
  • Carga 2: 8\\ \mathrm{kVA} com fator de potência FP=0{,}8 atrasado.
    O que pedem: calcular a potência complexa total S_{\text{total}} e o fator de potência total da instalação.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho passo a passo):
  • Potência complexa (ou aparente complexa) é
S = P + \mathrm{j}Q,
onde:
  • S é a potência aparente (em \mathrm{kVA}),
  • P é a potência ativa (real) (em \mathrm{kW}),
  • Q é a potência reativa (em \mathrm{kVAr}),
  • \mathrm{j} é a unidade imaginária (usada em engenharia elétrica).
  • Fator de potência FP é definido por
FP = \cos\varphi = \frac{P}{|S|},
onde \varphi é o ângulo de fase entre tensão e corrente, e |S|=\sqrt{P^{2}+Q^{2}} é o módulo de S.
  • Para uma carga com valor aparente S e FP conhecido, obtemos P e Q por
P = |S|\cdot FP, \qquad Q = |S|\cdot\sin\varphi,
e \sin\varphi=\sqrt{1-(FP)^{2}} (usamos raiz positiva para carga indutiva/atrasada).

Passo 3

Determinar S_{1} (Carga 1):
Como FP=1{,}0, a carga é puramente ativa (sem componente reativa). Assim,
P_{1}=5\\ \mathrm{kW}, \qquad Q_{1}=0\\ \mathrm{kVAr},
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S_{1}=P_{1}+\mathrm{j}Q_{1}=5+\mathrm{j}0\\ \mathrm{kVA}.

Passo 4

Determinar S_{2} (Carga 2) passo a passo:
Primeiro, o módulo aparente é |S_{2}|=8\\ \mathrm{kVA} e FP_{2}=0{,}8 (atrasado). Calculamos P_{2}:
P_{2}=|S_{2}|\cdot FP_{2}=8\times 0{,}8=6{,}4\\ \mathrm{kW}.
Agora o ângulo \varphi_{2}=\operatorname{arccos}(0{,}8). Podemos obter \sin\varphi_{2} diretamente por
\sin\varphi_{2}=\sqrt{1-(0{,}8)^{2}}=\sqrt{1-0{,}64}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6.
Como a carga é atrasada (indutiva), Q_{2} é positivo:
Q_{2}=|S_{2}|\cdot\sin\varphi_{2}=8\times 0{,}6=4{,}8\\ \mathrm{kVAr}.
Portanto
S_{2}=P_{2}+\mathrm{j}Q_{2}=6{,}4+\mathrm{j}4{,}8\\ \mathrm{kVA}.

Passo 5

Somar as potências complexas (em paralelo as potências se somam):
S_{\text{total}}=S_{1}+S_{2}=(5+\mathrm{j}0)+(6{,}4+\mathrm{j}4{,}8)=11{,}4+\mathrm{j}4{,}8\\ \mathrm{kVA}.
Aqui somei parte real com real e imaginária com imaginária — é isso mesmo.

Passo 6

Calcular o módulo de S_{\text{total}}:
Usamos a fórmula
|S_{\text{total}}|=\sqrt{(\Re(S_{\text{total}}))^{2}+(\Im(S_{\text{total}}))^{2}}.
Substituindo \Re(S_{\text{total}})=11{,}4 e \Im(S_{\text{total}})=4{,}8:
|S_{\text{total}}|=\sqrt{11{,}4^{2}+4{,}8^{2}}=\sqrt{129{,}96+23{,}04}=\sqrt{153{,}00}=12{,}369...\\ \mathrm{kVA}.
Arredondando para duas casas decimais:
|S_{\text{total}}|=12{,}37\\ \mathrm{kVA}.

Passo 7

Calcular o fator de potência total:
A potência ativa total é soma das potências ativas:
P_{\text{total}}=P_{1}+P_{2}=5+6{,}4=11{,}4\\ \mathrm{kW}.
O fator de potência total é
FP_{\text{total}}=\frac{P_{\text{total}}}{|S_{\text{total}}|}=\frac{11{,}4}{12{,}369...}=0{,}9219...\approx 0{,}921.
Como Q_{\text{total}}=4{,}8>0 (componente reativa positiva), o fator é do tipo atrasado (lagging).

Passo 8

Resumo final: os cálculos batem com a resposta fornecida. Você já pode anotar a forma padrão de resolver: converter cada carga para S=P+\mathrm{j}Q, somar as S's e depois achar módulo e FP. Vai dar certo na prova — respira, você consegue!

Resposta

S_{\text{total}}=(11{,}4+\mathrm{j}4{,}8)\\ \mathrm{kVA}.
|S_{\text{total}}|=12{,}37\\ \mathrm{kVA}.
FP_{\text{total}}=0{,}921 atrasado.

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