Duas cargas pontuais idênticas, +Q, são fixadas nos pontos de coordenadas (-L, 0) e (+L, 0) de um sistema de coordenadas cartesiano. Uma terceira carga pontual +q de massa m é livre para se mover, porém seu movimento está restrito exclusivamente ao longo do eixo y. Considere que o sistema está no vácuo, cuja constante eletrostática é k0. Despreze quaisquer efeitos gravitacionais. Pede-se:
a) Determine a posição de equilíbrio da carga +q ao longo do eixo y.
b) Analise a estabilidade dessa posição de equilíbrio. Para isso, desloque a carga +q para uma posição genérica y sobre o eixo de movimento e determine a expressão vetorial para a força eletrostática resultante F _{\text {res }}(\mathrm{y}) que atua sobre ela. A força é restauradora ou repulsiva em relação ao ponto de equilíbrio?
c) Demonstre que, para pequenos deslocamentos em torno da posição de equilíbrio (|y|<<L), o movimento da carga +q pode ser aproximado por um Movimento Harmônico Simples (MHS). Determine a frequência angular de oscilação, \omega, para este regime.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Informações dadas:
  • Duas cargas pontuais idênticas, +Q, estão fixas nos pontos (-L,0) e (+L,0).
  • Uma terceira carga pontual +q de massa m pode mover-se apenas ao longo do eixo y; sua posição genérica é (0,y).
  • O meio é o vácuo com constante eletrostática k_0.
  • Despreza-se a gravidade.
Perguntas:
a) Determinar a posição de equilíbrio da carga +q ao longo do eixo y.
b) Para uma posição genérica y sobre o eixo y, determinar a expressão vetorial da força eletrostática resultante \mathbf{F}_{\mathrm{res}}(y) que atua sobre +q e dizer se essa força é restauradora ou repulsiva em relação ao ponto de equilíbrio.
c) Mostrar que, para pequenos deslocamentos em torno da posição de equilíbrio ( |y|\ll L), o movimento pode (ou não) ser aproximado por um Movimento Harmônico Simples (MHS) e, se for, determinar a frequência angular \omega.

Passo 2

Vamos montar as expressões necessárias usando Coulomb de forma vetorial. Posicionamentos vetoriais:
\text{posição da carga }+q:\quad \mathbf{r}=(0,y).çã
\text{posições das cargas }+Q:\quad \mathbf{r}_1=(-L,0),\quad \mathbf{r}_2=(+L,0).çõ
A Lei de Coulomb em forma vetorial (força sobre a carga em \mathbf{r} devido a uma carga Q em \mathbf{r}_i) é
\mathbf{F}_{i} = k_0\; \frac{q\,Q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^{3}}\;(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i).
Aqui k_0 é a constante eletrostática, q é a carga testada e Q a carga fonte; o vetor \mathbf{r}-\mathbf{r}_i aponta da carga fonte para a carga testada e o sinal já incorpora repulsão/atração (como os sinais são iguais, a força será no sentido de afastar).
Distâncias dos centros ao ponto (0,y):
|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1| = |\mathbf{r}-\mathbf{r}_2| = r \equiv \sqrt{L^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Vamos calcular explicitamente as forças individuais e depois a resultante. Para a carga em \mathbf{r}_1=(-L,0):
\mathbf{r}-\mathbf{r}_1 = (0-(-L),\,y-0) = (L,\,y).
Então
\mathbf{F}_1 = k_0\; \frac{qQ}{r^{3}}\;(L,\,y).
Para a carga em \mathbf{r}_2=(+L,0):
\mathbf{r}-\mathbf{r}_2 = (0-L,\,y-0) = (-L,\,y),
\mathbf{F}_2 = k_0\; \frac{qQ}{r^{3}}\;(-L,\,y).
Somando \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2: os componentes x cancelam porque k_0 qQ \frac{L}{r^3} e -k_0 qQ \frac{L}{r^3} somam zero; os componentes y somam. Portanto a força resultante é puramente no sentido \hat{y} e vale
\mathbf{F}_{\mathrm{res}}(y) = \left(0,\; 2\,k_0\frac{qQ}{r^{3}}\,y \right).
Substituindo r=\sqrt{L^{2}+y^{2}} e escrevendo em forma vetorial com \hat{y},
\boxed{\displaystyle \mathbf{F}_{\mathrm{res}}(y) = \frac{2\,k_0\,Q\,q\,y}{\bigl(L^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat{y}.}
Observação didática: o fator y/r apareceu porque, da força total k_0 qQ/r^2 de cada carga, o componente vertical é essa força multiplicada pela projeção vertical (y/r); ao somar as duas cargas idênticas obtemos o fator 2.

Passo 4

Encontrar posições de equilíbrio: equilíbrio ocorre quando \mathbf{F}_{\mathrm{res}}(y)=\mathbf{0}. Da expressão anterior,
\frac{2\,k_0\,Q\,q\,y}{\bigl(L^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}} = 0
implica
\boxed{y_{\mathrm{eq}} = 0.}
Não há outro valor de y que torne a força nula (a menos de q=0 ou Q=0, casos triviais).

Passo 5

Análise qualitativa da estabilidade do equilíbrio y=0.
  • Se y>0, então \mathbf{F}_{\mathrm{res}} tem componente y positiva (pela expressão acima), isto é, a força aponta para +\hat{y}: empurra a carga para longe do ponto y=0.
  • Se y<0, então y é negativo e \mathbf{F}_{\mathrm{res}} tem componente negativa: a força aponta para -\hat{y}, novamente afastando a carga do ponto y=0.
Logo a força empurra a carga para longe do ponto y=0 em qualquer pequeno deslocamento — portanto o equilíbrio em y=0 é instável (a força é repulsiva em relação ao ponto de equilíbrio). Uma maneira matemática de ver isto é calcular a derivada da componente escalar F_y(y) em y=0:
F_y(y)=\frac{2k_0Qq\,y}{(L^2+y^2)^{3/2}}\quad\Rightarrow\quad F_y'(0)=\frac{2k_0Qq}{L^3}>0.
Como a derivada é positiva, um pequeno deslocamento gera uma força na mesma direção do deslocamento — característica de equilíbrio instável.

Passo 6

Linearização para pequenos deslocamentos |y|\ll L e equação de movimento.
Para |y|\ll L podemos expandir a expressão de \mathbf{F}_{\mathrm{res}} em série de Taylor. Usando a expansão
(L^{2}+y^{2})^{-3/2}=L^{-3}\bigl(1+\tfrac{y^{2}}{L^{2}}\bigr)^{-3/2}\approx L^{-3}\Bigl(1-\tfrac{3}{2}\frac{y^{2}}{L^{2}}+\cdots\Bigr),
multiplicando por y obtemos, até a ordem linear em y,
F_y(y)\approx \frac{2k_0Qq}{L^{3}}\,y + O(y^{3}).
Portanto, a equação do movimento (segunda lei de Newton, só no eixo y) é
m\ddot{y}=F_y(y)\approx \frac{2k_0Qq}{L^{3}}\,y.
Escrevendo de forma padrão:
\ddot{y}-\underbrace{\left(\frac{2k_0Qq}{mL^{3}}\right)}_{=\;\lambda^{2}}>0\;y=0.
Essa é uma equação diferencial com coeficiente positivo na frente de y, cuja solução fundamental é exponencial (modo instável):
y(t)=A\,e^{\lambda t}+B\,e^{-\lambda t},\quad \lambda=\sqrt{\frac{2k_0Qq}{mL^{3}}}.
Portanto, para cargas todas positivas o pequeno deslocamento NÃO gera um Movimento Harmônico Simples: gera um crescimento/decrescimento exponencial (equilíbrio instável). Em outras palavras não existe \omega real de oscilação neste caso.
Observação útil (hipotética): se o sinal da carga móvel q fosse oposto (ou seja, q<0 enquanto Q>0), o coeficiente à direita ficaria negativo e a equação seria
m\ddot{y} = -\frac{2k_0Q|q|}{L^{3}}\,y,
que é a equação do MHS com
\boxed{\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{2k_0Q|q|}{mL^{3}}}.}
Mas esse \omega refere-se ao caso com q de sinal oposto; no enunciado todas as cargas são positivas, portanto não há oscilação harmônica estável.

Resposta

(a) y_{\mathrm{eq}}=0.
(b) \displaystyle \mathbf{F}_{\mathrm{res}}(y)=\frac{2\,k_0\,Q\,q\,y}{\bigl(L^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat{y}. A força é repulsiva em relação a y=0 (não restauradora); o equilíbrio é instável.
(c) Para |y|\ll L a linearização dá m\ddot{y}\approx \dfrac{2k_0Qq}{L^{3}}\,y, que tem coeficiente positivo, logo o movimento não é MHS (é instável, com soluções exponenciais). Se hipoteticamente q tivesse sinal oposto a Q, então seria MHS com \displaystyle \omega=\sqrt{\dfrac{2k_0Q|q|}{mL^{3}}}.

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