Duas esferas de mesmo diâmetro (no ar), uma feita de liga de chumbo e a outra feita de aço, são submersas a uma profundidade
abaixo da superfície do oceano. A razão dos volumes das esferas, nessa profundidade, é
. Sabendo que a densidade da água do oceano é
e que o módulo volumétrico do aço é
, calcule o módulo volumétrico da liga de chumbo usado na esfera.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dois valores dados (retirados do enunciado):
- Profundidade:
. - Densidade da água do oceano:
. - Módulo volumétrico do aço:
. - Razão dos volumes das esferas nessa profundidade:
.
- Profundidade:
-
O que o problema pede:
- Calcular o módulo volumétrico da liga de chumbo usada na esfera:
.
- Calcular o módulo volumétrico da liga de chumbo usada na esfera:
-
Convenções e constantes que vou usar (valores padrão):
- A pressão absoluta na profundidade
é . - Vou usar
(pressão atmosférica ao nível do mar) e . - Observação: não foi dada outra figura ou dado, então assumo que ambas as esferas, sendo sólidas, sofrem a mesma pressão externa
e que a compressão é pequena, permitindo usar a relação linear do módulo volumétrico.
- A pressão absoluta na profundidade
Passo 2
Explico a fórmula física que vou usar (passo-a-passo, sem pular nada).
- Definição do módulo volumétrico (bulk modulus): o módulo volumétrico
relaciona uma variação de pressão com a variação relativa de volume por
Aqui:
-
tem unidades de Pascal ( ), -
é a variação de pressão aplicada sobre o corpo (positiva quando aumenta a pressão), -
é a variação relativa do volume (negativa quando o volume diminui). -
Rearranjando a fórmula obtemos a relação prática para pequenas variações:
Isto significa que sob uma pressão externa
(tomando referência de pressão inicial
), o volume passa de
para
-
No nosso caso prático:
- As esferas tinham o mesmo diâmetro no ar, logo o volume inicial (em ar, pressão
) é o mesmo para as duas: . - Ao serem submersas a profundidade
sofrem pressão externa . - Assim, para o aço:
e para o chumbo:Note que useiporque a variação de pressão do ar à profundidade é essa diferença. - As esferas tinham o mesmo diâmetro no ar, logo o volume inicial (em ar, pressão
-
Portanto a razão dada pelo enunciado pode ser escrita como
Passo 3
Vou isolar
a partir da igualdade da razão numérica fornecida. Denoto a razão conhecida por
A equação é
Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
Desenvolvendo o lado direito:
Isolando o termo com
:
Logo
Finalmente
Essa é a expressão que vamos calcular numericamente.
Passo 4
Calculo primeiro a pressão hidrostática
(a variação de pressão devido à água), mostrando cada conta.
- Calculo de
:
Faço em etapas:
Então
.
- A pressão absoluta total
na profundidade seria , mas notei na dedução anterior que usamos diretamente (diferença de pressão). Portanto o valor relevante nas fórmulas ficou .
Passo 5
Calculo as quantidades numéricas necessárias para inserir na fórmula de
.
-
Dados numéricos:
-
. -
. -
.
-
-
Calculo do termo
:
- Calculo de
:
- Soma no denominador:
Passo 6
Agora coloco tudo na fórmula de
:
- Primeiro calculo o numerador:
- Dividindo pelo denominador calculado em Passo 5:
- Em unidades mais usuais:
- Checagem de consistência rápida:
e são da ordem de a , ou seja compressões muito pequenas, então o uso da relação linear é apropriado.