Duas esferas de mesmo diâmetro (no ar), uma feita de liga de chumbo e a outra feita de aço, são submersas a uma profundidade \mathrm{h}=2.000 \mathrm{~m} abaixo da superfície do oceano. A razão dos volumes das esferas, nessa profundidade, é V_{\text {aço }}(h) / V_{\text {chumbo }}(h)=1,001206ç. Sabendo que a densidade da água do oceano é \rho=1024 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e que o módulo volumétrico do aço é B_{\text {aço }}=160 \cdot 10^{9} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}ç, calcule o módulo volumétrico da liga de chumbo usado na esfera.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dois valores dados (retirados do enunciado):
    • Profundidade: h=2{,}000\\ \mathrm{m}.
    • Densidade da água do oceano: \rho=1024\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
    • Módulo volumétrico do aço: B_{\text{aço}}=160\cdot10^{9}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2ç.
    • Razão dos volumes das esferas nessa profundidade: \dfrac{V_{\text{aço}}(h)}{V_{\text{chumbo}}(h)}=1{,}001206ç.
  • O que o problema pede:
    • Calcular o módulo volumétrico da liga de chumbo usada na esfera: B_{\text{chumbo}}.
  • Convenções e constantes que vou usar (valores padrão):
    • A pressão absoluta na profundidade h é p(h)=p_{\text{atm}}+\rho g h.
    • Vou usar p_{\text{atm}}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (pressão atmosférica ao nível do mar) e g=9{,}80\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
    • Observação: não foi dada outra figura ou dado, então assumo que ambas as esferas, sendo sólidas, sofrem a mesma pressão externa p(h) e que a compressão é pequena, permitindo usar a relação linear do módulo volumétrico.

Passo 2

Explico a fórmula física que vou usar (passo-a-passo, sem pular nada).
  • Definição do módulo volumétrico (bulk modulus): o módulo volumétrico B relaciona uma variação de pressão \Delta p com a variação relativa de volume \dfrac{\Delta V}{V} por
B = -\dfrac{\Delta p}{\Delta V/V}.
Aqui:
  • B tem unidades de Pascal ( \mathrm{Pa}),
  • \Delta p é a variação de pressão aplicada sobre o corpo (positiva quando aumenta a pressão),
  • \Delta V/V é a variação relativa do volume (negativa quando o volume diminui).
  • Rearranjando a fórmula obtemos a relação prática para pequenas variações:
\frac{\Delta V}{V} = -\frac{\Delta p}{B}.
Isto significa que sob uma pressão externa p (tomando referência de pressão inicial p_0), o volume passa de V_0 para
V(p)=V_0\left(1-\frac{p-p_0}{B}\right).
  • No nosso caso prático:
    • As esferas tinham o mesmo diâmetro no ar, logo o volume inicial (em ar, pressão p_0\approx p_{\text{atm}}) é o mesmo para as duas: V_0.
    • Ao serem submersas a profundidade h sofrem pressão externa p=p_{\text{atm}}+\rho g h.
    • Assim, para o aço:
    V_{\text{aço}}(h)=V_0\left(1-\frac{p-p_{\text{atm}}}{B_{\text{aço}}}\right)=V_0\left(1-\frac{\rho g h}{B_{\text{aço}}}\right),ççç
    e para o chumbo:
    V_{\text{chumbo}}(h)=V_0\left(1-\frac{\rho g h}{B_{\text{chumbo}}}\right).
    Note que usei \Delta p = p-p_{\text{atm}}=\rho g h porque a variação de pressão do ar à profundidade é essa diferença.
  • Portanto a razão dada pelo enunciado pode ser escrita como
\frac{V_{\text{aço}}(h)}{V_{\text{chumbo}}(h)} = \frac{1-\dfrac{\rho g h}{B_{\text{aço}}}}{1-\dfrac{\rho g h}{B_{\text{chumbo}}}}.çç

Passo 3

Vou isolar B_{\text{chumbo}} a partir da igualdade da razão numérica fornecida. Denoto a razão conhecida por
R \equiv \frac{V_{\text{aço}}(h)}{V_{\text{chumbo}}(h)}=1{,}001206.ç
A equação é
\frac{1-\dfrac{\rho g h}{B_{\text{aço}}}}{1-\dfrac{\rho g h}{B_{\text{chumbo}}}} = R.ç
Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
1-\frac{\rho g h}{B_{\text{aço}}} = R\left(1-\frac{\rho g h}{B_{\text{chumbo}}}\right).ç
Desenvolvendo o lado direito:
1-\frac{\rho g h}{B_{\text{aço}}} = R - R\frac{\rho g h}{B_{\text{chumbo}}}.ç
Isolando o termo com B_{\text{chumbo}}:
R\frac{\rho g h}{B_{\text{chumbo}}} = R - \left(1-\frac{\rho g h}{B_{\text{aço}}}\right) = R-1 + \frac{\rho g h}{B_{\text{aço}}}.çç
Logo
\frac{1}{B_{\text{chumbo}}} = \frac{R-1 + \dfrac{\rho g h}{B_{\text{aço}}}}{R\,\rho g h}.ç
Finalmente
B_{\text{chumbo}} = \frac{R\,\rho g h}{R-1 + \dfrac{\rho g h}{B_{\text{aço}}}}.ç
Essa é a expressão que vamos calcular numericamente.

Passo 4

Calculo primeiro a pressão hidrostática \rho g h (a variação de pressão devido à água), mostrando cada conta.
  • Calculo de \rho g h:
\rho g h = 1024\cdot 9{,}80\cdot 2000\\ \mathrm{Pa}.
Faço em etapas:
9{,}80\cdot 2000 = 19{,}600,
1024\cdot 19{,}600 = 20\,070\,400\\ \mathrm{Pa}.
Então \rho g h = 20\,070\,400\\ \mathrm{Pa}.
  • A pressão absoluta total p na profundidade seria p_{\text{atm}}+\rho g h, mas notei na dedução anterior que usamos \rho g h diretamente (diferença de pressão). Portanto o valor relevante nas fórmulas ficou \rho g h=20\,070\,400\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calculo as quantidades numéricas necessárias para inserir na fórmula de B_{\text{chumbo}}.
  • Dados numéricos:
    • R=1{,}001206.
    • \rho g h = 20\,070\,400\\ \mathrm{Pa}.
    • B_{\text{aço}}=160\cdot10^{9}\\ \mathrm{Pa}ç.
  • Calculo do termo \dfrac{\rho g h}{B_{\text{aço}}}ç:
\frac{\rho g h}{B_{\text{aço}}} = \frac{20\,070\,400}{160\cdot10^{9}} = \frac{20\,070\,400}{160\,000\,000\,000} \approx 1{,}26073125\times10^{-4}.ç
  • Calculo de R-1:
R-1 = 1{,}001206-1 = 0{,}001206.
  • Soma no denominador:
R-1 + \frac{\rho g h}{B_{\text{aço}}} = 0{,}001206 + 1{,}26073125\times10^{-4} = 0{,}001332073125.ç

Passo 6

Agora coloco tudo na fórmula de B_{\text{chumbo}}:
B_{\text{chumbo}} = \frac{R\,\rho g h}{\,R-1 + \dfrac{\rho g h}{B_{\text{aço}}}\,}.ç
  • Primeiro calculo o numerador:
R\,\rho g h = 1{,}001206\cdot 20\,070\,400 \approx 20\,196\,049{,}1\\ \mathrm{Pa}.
  • Dividindo pelo denominador calculado em Passo 5:
B_{\text{chumbo}} \approx \frac{20\,196\,049{,}1}{0{,}001332073125} \approx 1{,}516136998\times10^{10}\\ \mathrm{Pa}.
  • Em unidades mais usuais:
B_{\text{chumbo}} \approx 1{,}516\times10^{10}\\ \mathrm{Pa} = 15{,}16\\ \mathrm{GPa}.
  • Checagem de consistência rápida: \dfrac{\rho g h}{B_{\text{aço}}}ç e \dfrac{\rho g h}{B_{\text{chumbo}}} são da ordem de 10^{-4} a 10^{-3}, ou seja compressões muito pequenas, então o uso da relação linear \Delta V/V\approx -\Delta p/B é apropriado.

Resposta

B_{\text{chumbo}}\approx 1{,}516\times10^{10}\\ \mathrm{Pa}\quad(15{,}16\\ \mathrm{GPa})