Duas esferas pequenas de massa m estão suspensas por fios de comprimento l, que são conectados em um ponto comum. Uma esfera tem carga Q e outra tem carga 2 Q. Suponha que são pequenos os ângulos theta1 e theta2 que os fios fazem com a vertical.
(a) Como se relacionam theta1 e theta2 ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física envolvendo duas esferas carregadas suspendidas por fios. O objetivo é descobrir como os ângulos theta1 e theta2 que os fios formam com a vertical estão relacionados. Para isso, vamos utilizar conceitos de equilíbrio de forças e a Lei de Coulomb.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam em cada esfera. Cada esfera está sujeita a três forças principais: a força gravitacional ( mg) para baixo, a tensão no fio ( T) que tem componentes na vertical e na horizontal, e a força eletrostática de repulsão entre as cargas.

Passo 3

Como os fios fazem pequenos ângulos com a vertical, podemos usar a aproximação de que sintheta approx theta e costheta approx 1. Essa simplificação facilita os cálculos sem perder muita precisão.

Passo 4

Para cada esfera, na direção vertical, a componente da tensão equilibra o peso da esfera:
T costheta = mg
Na direção horizontal, a componente da tensão equilibra a força eletrostática de repulsão:
T sintheta = Fe

Passo 5

A força eletrostática entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
Fe = k Q cdot Q'r^2
Onde k é a constante eletrostática, Q e Q' são as cargas, e r é a distância entre elas.

Passo 6

A distância r entre as esferas pode ser relacionada ao comprimento dos fios e aos ângulos:
r approx 2ltheta
Já que theta é pequeno.

Passo 7

Para a esfera com carga Q, a força eletrostática é:
Fe1 = k Q cdot 2Q(2ltheta)^2 = k cdot 2Q^24l^2theta^2 = k Q^22l^2theta^2
E para a esfera com carga 2Q, a força é a mesma, pois a força entre elas depende do produto das cargas.

Passo 8

Igualando as duas expressões para a componente horizontal da tensão:
T theta = k Q^22l^2theta^2
E substituindo T da direção vertical:
mgcostheta theta = k Q^22l^2theta^2
Como costheta approx 1:
mg theta = k Q^22l^2theta^2

Passo 9

Resolvendo para theta, multiplicamos ambos os lados por theta^2:
mg theta^3 = k Q^22l^2
Isolando theta:
theta = ( k Q^22 m g l^2 )^1/3

Resposta

Os ângulos theta1 e theta2 estão relacionados pela expressão:
theta = ( k Q^22 m g l^2 )^1/3

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