Duas fontes sonoras coerentes, S1 e S2 emitem ondas em fase e de comprimento de onda lambda. A separação entre as fontes é de 3 lambda. Um microfone pode deslocar ao longo de um aro de grande raio disposto de maneira que as fontes se localizam no plano do circulo e o ponto médio entre as fontes coincide com o centro da circunferência definida pelo aro. Encontre as posições angulares (theta) para as quais o microfone registrará intensidade máxima. Resp.: Para o primeiro quadrante: theta=0^circ, 48.2^circ, 70.5^circ and 90^circ

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas fontes de som, S1 e S2, que emitem ondas do mesmo comprimento de onda lambda e estão separadas por 3lambda. Um microfone pode se mover ao longo de um grande aro, e queremos encontrar os ângulos theta onde a intensidade do som é máxima. Para resolver isso, vamos usar o conceito de interferência construtiva de ondas, que ocorre quando as ondas se somam de forma a aumentar a intensidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quando a interferência construtiva acontece. Isso ocorre quando a diferença de caminho percorrido pelas ondas das duas fontes chega ao microfone é um múltiplo inteiro do comprimento de onda lambda. Matemáticamente, isso é representado por:
de
Aqui, de é a diferença de caminho e m é um número inteiro que representa a ordem da interferência.

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa diferença de caminho de com o ângulo theta. Imagine que o aro tem um raio muito grande, o que significa que as ondas se propagam de forma quase paralela. A diferença de caminho de pode ser expressa como:
de
Onde d é a distância entre as duas fontes. No nosso caso, d = 3lambda, então:
de

Passo 4

Substituindo a expressão de de na condição de interferência construtiva, temos:
3lambda cdot sintheta = mlambda
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por lambda:
3 cdot sintheta = m
Ou seja:
sintheta = m3

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de theta que satisfazem essa equação para valores inteiros de m tais que sintheta esteja entre -1 e 1 (já que o seno de um ângulo não pode exceder esses valores):
  • Para m = 0:
    sintheta = 0 implies theta = 0^circ
  • Para m = 1:
    sintheta = 13 implies theta approx 19,47^circ
  • Para m = 2:
    sintheta = 23 implies theta approx 41,81^circ
  • Para m = 3:
    sintheta = 1 implies theta = 90^circ
Esses são os ângulos onde ocorrerá interferência construtiva, ou seja, onde a intensidade do som será máxima.

Resposta

As posições angulares para intensidade máxima no primeiro quadrante são theta = 0^circ, theta approx 19,47^circ, theta approx 41,81^circ e theta = 90^circ.

Exercícios relacionados