Duas marcas são desenhadas exatamente a 270 mm de distância uma da outra em uma haste de met de 18 mm de diâmetro. Quando uma força de tração axial de 50 kN é aplicada à haste, a distância entre marcas é medida com precisão como 270,5375 \mathrm{~mm}. A partir dessas informações:
a) Determine o módulo de elasticidade do metal em unidades de GPa;
b) Considerando que o coeficiente de Poisson tem valor igual à 0,50 , qual o valor da variação do diâme percebida durante a aplicação da força?

Passo 1

O enunciado descreve uma haste cilíndrica de diâmetro inicial \,d=18\text{ mm}\, e comprimento entre marcas \,L=270\text{ mm}\,. Sob a aplicação de uma força de tração axial P=50\text{ kN}, a distância passou a ser L+\Delta L=270,5375\text{ mm}. Precisamos usar noções de tensão, deformação axial e Lei de Hooke para obter o módulo de elasticidade E, e em seguida o coeficiente de Poisson \nu=0,50 para calcular a variação do diâmetro \Delta d.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal pela fórmula
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi\,(18\text{ mm})^2}{4} = 254,47\text{ mm}^2.

Passo 3

Determinar a tensão média \sigma (em N/m m^{2} = MPa) usando
\sigma = \frac{P}{A} = \frac{50\,000\text{ N}}{254,47\text{ mm}^2} = 196,5\text{ MPa}.

Passo 4

Calcular a deformação axial (adimensional)
\epsilon_{\text{axial}} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{270,5375-270}{270} = \frac{0,5375}{270} = 0,00199.

Passo 5

Aplicar a Lei de Hooke para obter E
E = \frac{\sigma}{\epsilon_{\text{axial}}} = \frac{196,5\text{ MPa}}{0,00199} =98\,8\text{ GPa}\\ (\text{aproximadamente}).

Passo 6

Usar o coeficiente de Poisson para achar a deformação lateral
\epsilon_{\text{lat}} = -\nu\,\epsilon_{\text{axial}} = -0,50 \times 0,00199 = -0,000995.
A variação do diâmetro é
\Delta d = \epsilon_{\text{lat}}\;d = -0,000995 \times 18\text{ mm} = -0,0179\text{ mm},
ou seja, o diâmetro se reduz em aproximadamente 0,0179\text{ mm}.

Resposta

(a) E = 98,8\text{ GPa}.
(b) \Delta d = -0,0179\text{ mm} (redução de cerca de 0,018\text{ mm}).

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