Duas pequenas esferas têm a mesma massa e carregam cargas de mesma magnitude. A massa de cada esfera é de 2,0 times 10^-6 kg. A força gravitacional que cada esfera exerce sobre a outra é equilibrada pela força elétrica. (a) Quais sinais algébricos as cargas podem ter?
(b) Determine a magnitude da carga.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas pequenas esferas que têm a mesma massa de 2,0 times 10^-6 , kg e carregam cargas elétricas de mesma magnitude. A força gravitacional entre elas é equilibrada pela força elétrica. Precisamos resolver duas partes:
a) Determinar quais podem ser os sinais das cargas.
b) Calcular a magnitude das cargas.
Para isso, vamos usar os conceitos de força gravitacional e força elétrica, aplicando as leis da física que descrevem essas interações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças em jogo:
  • Força gravitacional ( Fg): Atração entre as massas das esferas, dada por:
    Fg = G m1 m2r^2
    Onde G é a constante gravitacional ( 6,674 times 10^-11 , Ncdotm^2/kg^2), m1 e m2 são as massas das esferas, e r é a distância entre elas.
  • Força elétrica ( Fe): Interação devido às cargas elétricas, dada por:
    Fe = k |q1 q2|r^2
    Onde k é a constante eletrostática ( 8,988 times 10^9 , Ncdotm^2/C^2), q1 e q2 são as cargas das esferas.

Passo 3

Parte a)
Como as forças estão em equilíbrio, temos que Fg = Fe. Além disso, a força gravitacional é sempre atrativa, enquanto a força elétrica pode ser atrativa ou repulsiva dependendo dos sinais das cargas.
Para que as forças se equilibrem:
  • Se as cargas tiverem mesmos sinais (ambas positivas ou ambas negativas), a força elétrica será repulsiva, equilibrando a força gravitacional atrativa.
  • Se as cargas tiverem sinais opostos, a força elétrica seria atrativa, somando-se à força gravitacional, o que não equilibraria as duas forças.
Portanto, as cargas devem ter mesmos sinais.

Passo 4

Parte b)
Vamos determinar a magnitude da carga q. Igualando as forças:
Fg = Fe
Substituindo as fórmulas:
G m^2r^2 = k q^2r^2
Podemos simplificar r^2 de ambos os lados:
G m^2 = k q^2
Isolando q:
q = raizG m^2k
Substituindo os valores:
q = raiz6,674 times 10^-11 , Ncdotm^2/kg^2 times (2,0 times 10^-6 , kg)^28,988 times 10^9 , Ncdotm^2/C^2
Calculando:
q = raiz6,674 times 10^-11 times 4,0 times 10^-128,988 times 10^9
q = raiz2,6696 times 10^-228,988 times 10^9
q = raiz2,967 times 10^-32
q approx 5,45 times 10^-16 , C

Resposta

a) As cargas das esferas devem ter mesmos sinais (ambas positivas ou ambas negativas).
b) A magnitude de cada carga é aproximadamente 5,45 times 10^-16 , C.

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