5.5-8 Durante a construção de uma ponte rodoviária, as vigas principais são conduzidas em balanço de um pilar para o próximo. Cada viga tem um comprimento em balanço máximo de 48m e seção transversal I. Durante a construção, o carregamento em cada viga, é assumido igual a 9,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}, o que inclui o peso próprio da peça. Determine a máxima tensão provocada por momento fletor na viga, devido à aplicação deste carregamento.

Passo 1

O problema trata de uma viga em balanço de comprimento L=48{,}0\:\mathrm{m} submetida a uma carga distribuída w=9{,}5\:\mathrm{kN/m}. Queremos encontrar a tensão máxima de flexão \sigma_{\max} na raiz do balanço. Para isso, precisamos de:
  1. Expressão do momento máximo em balanço:
M_{\max}=\frac{w\,L^2}{2}.
  1. Módulo de seção da seção transversal em I; isto envolve calcular o momento de inércia I em torno do eixo neutro e dividir por y_{\max} (distância do neutro à fibra mais crítica).

Passo 2

Calcular o momento de flexão máximo na raiz do balanço. Convertendo w para \mathrm{N/m}:
w=9{,}5\times10^3\:\mathrm{N/m}.
Logo,
M_{\max} =\frac{w\,L^2}{2} =\frac{9{,}5\times10^3\cdot(48{,}0)^2}{2} =1{,}0944\times10^7\:\mathrm{N\cdot m} =1{,}0944\times10^{10}\:\mathrm{N\cdot mm}.

Passo 3

Determinar o momento de inércia dos flanges em relação ao neutro. Dados dos flanges: largura b_f=620\:\mathrm{mm}, espessura t_f=52\:\mathrm{mm}. O neutro fica no meio da altura total h=2600\:\mathrm{mm}, portanto a distância centro de flange–neutro é
y_f=\frac{h}{2}-\frac{t_f}{2}=1300-26=1274\:\mathrm{mm}.
Momento de inércia de um flange em torno de seu próprio centro:
I_{f,\,c} =\frac{b_f\,t_f^3}{12} =\frac{620\cdot52^3}{12}\approx7{,}26\times10^6\:\mathrm{mm^4}.
Usando o teorema dos eixos paralelos para cada flange:
I_{f} =I_{f,\,c}+A_f\,y_f^2 =7{,}26\times10^6 + (620\cdot52)\cdot1274^2 \approx5{,}233\times10^{10}\:\mathrm{mm^4}.
Como há dois flanges:
I_{\text{flanges}} =2\,I_{f}\approx1{,}0466\times10^{11}\:\mathrm{mm^4}.

Passo 4

Determinar o momento de inércia da alma. Dados da alma: espessura t_w=28\:\mathrm{mm}, altura livre entre flanges
h_w=2600-2\cdot52=2496\:\mathrm{mm}.
Momento de inércia da alma em torno do neutro (é só eixo que passa pelo seu centro):
I_{\text{alma}} =\frac{t_w\,h_w^3}{12} =\frac{28\cdot2496^3}{12} \approx3{,}6284\times10^{10}\:\mathrm{mm^4}.
Somando flanges e alma:
I_{\text{total}} =I_{\text{flanges}}+I_{\text{alma}} \approx1{,}0466\times10^{11}+3{,}6284\times10^{10} =1{,}4094\times10^{11}\:\mathrm{mm^4}.

Passo 5

Calcular o módulo de seção S e a tensão máxima \sigma_{\max}. A fibra mais solicitada fica a
y_{\max}=\frac{h}{2}=1300\:\mathrm{mm}
do neutro.
S=\frac{I_{\text{total}}}{y_{\max}} =\frac{1{,}4094\times10^{11}}{1300} \approx1{,}0842\times10^8\:\mathrm{mm^3}.
Finalmente,
\sigma_{\max} =\frac{M_{\max}}{S} =\frac{1{,}0944\times10^{10}}{1{,}0842\times10^8} \approx100{,}9\:\mathrm{N/mm^2}.

Resposta

A máxima tensão de flexão na viga em balanço é aproximadamente
\boxed{\sigma_{\max}\approx101\:\mathrm{MPa}.}

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