5.4-2 Um arame de cobre de diâmetro d=3 \mathrm{~mm} é flexionado em um círculo e seguro com suas extremidades em contato. Se a máxima deformação específica admissível no cobre é \varepsilon_{\text {max }}=0,0024, qual o menor comprimento L do arame que pode ser utilizado?

Passo 1

O enunciado diz que um arame de cobre de diâmetro d=3\\ \mathrm{mm} é curvado numa circunferência de raio R e que as extremidades ficam em contato, formando um círculo de comprimento L. A máxima deformação específica admissível no material, isto é, a máxima norma de alongamento na fibra mais externa do arame, é \varepsilon_{\text{max}}=0,0024. O conteúdo é deformação por flexão pura, onde a deformação máxima na fibra externa está relacionada com a curvatura 1/R. Vamos usar essa relação para achar primeiro R e depois L=2\pi R.

Passo 2

Em flexão pura a deformação na fibra mais externa do arame (distante c do núcleo neutro) é
\varepsilon = \kappa\,c
onde \kappa=1/R é a curvatura e c é a distância do eixo neutro até a fibra externa. Como o diâmetro do arame é d, temos
c = \frac{d}{2}.
Logo
\varepsilon_{\text{max}} = \frac{1}{R}\,\frac{d}{2}.

Passo 3

Isolando R a partir de
\varepsilon_{\text{max}} = \frac{d}{2R}
temos
R = \frac{d}{2\,\varepsilon_{\text{max}}}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos (em unidades compatíveis):
d = 3\\ \mathrm{mm} = 3\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}, \quad \varepsilon_{\text{max}} = 0,0024,
obtemos
R = \frac{3\times 10^{-3}}{2\cdot0,0024} = \frac{3\times10^{-3}}{0,0048} =0,625\\ \mathrm{m}.

Passo 5

O comprimento mínimo do arame para formar o círculo é
L = 2\pi R = 2\pi \times 0,625\\ \mathrm{m} \approx 3,93\\ \mathrm{m}.

Resposta

O menor comprimento L do arame é aproximadamente 3{,}93\\ \mathrm{m}.

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