1. Durante os primeiros 50 dias seguintes ao início de um surto de gripe num colégio o número \mathrm{N}(\mathrm{t}) de estudantes infectados após t dias é dado pela função N(t)=25 t-\frac{t^{2}}{2}, 0 \leq t \leq 50.
    (a) Fazer o gráfico.
    (b) Achar a inclinação da reta tangente em \mathrm{t}=1.
    (c) Quando o número de infectados será máximo e qual o número de infectados nesse instante?
    (a)
    (b)A inclinação da reta pode ser encontrada pelo valor da derivada de N(t) no ponto t=1. Assim,
\frac{d N}{d t}=25-t \Rightarrow \frac{d N(1)}{d t}=24
(c) De acordo com o gráfico, observa-se que o ponto de máximo ocorre em t=24 dias e é de 312 estudantes infectados.

Passo 1

O enunciado dá a função
N(t)=25\,t - \frac{t^{2}}{2},\quad 0 \le t \le 50,
que representa o número de estudantes infectados após t dias. Pede-se:
(a) o gráfico de N(t);
(b) a inclinação da reta tangente em t=1, isto é, N'(1);
(c) o instante em que N(t) atinge o valor máximo e qual é esse valor.

Passo 2

Para desenhar o gráfico note que N(t) é uma função quadrática cujo coeficiente de t^{2} é -\tfrac12<0, logo é uma parábola voltada para baixo. Seus zeros são dados por
N(t)=0 \;\Longrightarrow\; 25\,t - \frac{t^{2}}{2}=0 \;\Longrightarrow\; t\bigl(25 - \tfrac{t}{2}\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; t=0\;\text{ou}\;t=50.
O vértice da parábola está exatamente na metade desses zeros, em t=25. Portanto, o gráfico intercepta o eixo t em (0,0) e (50,0), atinge o ponto mais alto em t=25, de forma que a curva sobe de t=0 a t=25 e desce de t=25 a t=50.

Passo 3

A inclinação da reta tangente a N(t) em qualquer ponto é dada pela derivada
N'(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(25\,t - \tfrac{t^{2}}{2}\Bigr) =25 - t.
Em t=1, temos
N'(1)=25 - 1=24.

Passo 4

Para encontrar o máximo de N(t) resolvemos N'(t)=0:
25 - t=0 \;\Longrightarrow\; t=25.
Como a derivada segunda é
N''(t)=\frac{d}{dt}(25 - t)=-1<0,
esse ponto é um máximo. O valor máximo é
N(25)=25\cdot25 - \frac{25^{2}}{2} =625 - 312{,}5 =312{,}5.

Resposta

(a) Gráfico de uma parábola voltada para baixo, com interceptos em (0,0) e (50,0) e vértice em \bigl(25,312{,}5\bigr).
(b) A inclinação da reta tangente em t=1 é 24.
(c) O número de infectados é máximo em t=25 dias, atingindo N(25)=312{,}5 estudantes (aproximadamente 313).

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