- Durante os primeiros 50 dias seguintes ao início de um surto de gripe num colégio o número
de estudantes infectados após t dias é dado pela função
,
.
(a) Fazer o gráfico.
(b) Achar a inclinação da reta tangente em
.
(c) Quando o número de infectados será máximo e qual o número de infectados nesse instante?
(a)
(b)A inclinação da reta pode ser encontrada pelo valor da derivada de
no ponto
. Assim,
(c) De acordo com o gráfico, observa-se que o ponto de máximo ocorre em
dias e é de 312 estudantes infectados.
(a) Fazer o gráfico.
(b) Achar a inclinação da reta tangente em
(c) Quando o número de infectados será máximo e qual o número de infectados nesse instante?
(a)
(b)A inclinação da reta pode ser encontrada pelo valor da derivada de
Passo 1
O enunciado dá a função
que representa o número de estudantes infectados após
dias. Pede-se:
(a) o gráfico de ;
(b) a inclinação da reta tangente em , isto é,
;
(c) o instante em que atinge o valor máximo e qual é esse valor.
(a) o gráfico de
(b) a inclinação da reta tangente em
(c) o instante em que
Passo 2
Para desenhar o gráfico note que
é uma função quadrática cujo coeficiente de
é
, logo é uma parábola voltada para baixo. Seus zeros são dados por
O vértice da parábola está exatamente na metade desses zeros, em
. Portanto, o gráfico intercepta o eixo
em
e
, atinge o ponto mais alto em
, de forma que a curva sobe de
a
e desce de
a
.
Passo 3
A inclinação da reta tangente a
em qualquer ponto é dada pela derivada
Em
, temos
Passo 4
Para encontrar o máximo de
resolvemos
:
Como a derivada segunda é
esse ponto é um máximo. O valor máximo é
Resposta
(a) Gráfico de uma parábola voltada para baixo, com interceptos em
e
e vértice em
.
(b) A inclinação da reta tangente em é
.
(c) O número de infectados é máximo em dias, atingindo
estudantes (aproximadamente
).
(b) A inclinação da reta tangente em
(c) O número de infectados é máximo em