Durante um processo, uma parcela de ar seco descende de 900 para 950 hPa , e sua entropia específica decresce em 30 \mathrm{~J}^{-1} \mathrm{~kg}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}. Se a temperatura inicial da parcela é 273 K , qual é (a) sua temperatura final e (b) sua temperatura potencial final.

Passo 1

O enunciado diz que uma parcela de ar seco desce de P_1=900 hPa para P_2=950 hPa, e que sua entropia específica decresce em \Delta s=s_2 - s_1 = -30 J kg ^{-1} K ^{-1}. A temperatura inicial é T_1=273 K. Pede-se (a) a temperatura final T_2 e (b) a temperatura potencial final \theta_2. Vamos usar:
– Variação de entropia de gás ideal seco
s_2 - s_1 = c_p \ln\frac{T_2}{T_1} - R \ln\frac{P_2}{P_1},
onde para o ar seco c_p = 1004 J kg ^{-1} K ^{-1} e R = 287 J kg ^{-1} K ^{-1}.
– Definição de temperatura potencial
\theta = T \Bigl(\frac{P_0}{P}\Bigr)^{R/c_p},\quad P_0=1000\text{ hPa}.

Passo 2

Escrevendo a equação de variação de entropia com os valores dados:
-30 = 1004 \ln\frac{T_2}{273} \;-\; 287 \ln\frac{950}{900}.

Passo 3

Isolando \ln(T_2/273):
1004 \ln\frac{T_2}{273} = -30 + 287 \ln\frac{950}{900}.

Passo 4

Calculando numericamente: \ln(950/900)\approx0,05407 287\times0,05407\approx15,52, logo
1004 \ln\frac{T_2}{273} = -30 + 15,52 = -14,48,
\ln\frac{T_2}{273} = \frac{-14,48}{1004} \approx -0,01442 \quad\Longrightarrow\quad T_2 = 273\,\exp(-0,01442)\approx269,2\text{ K}.

Passo 5

Agora a temperatura potencial final:
\theta_2 = T_2 \Bigl(\frac{1000}{950}\Bigr)^{R/c_p}, \quad \frac{R}{c_p} = \frac{287}{1004}\approx0,2857. \ln(1000/950)\approx0,05129 0,2857\times0,05129\approx0,01465 \exp(0,01465)\approx1,0148, então
\theta_2 = 269,2 \times 1,0148 \approx 273,2\text{ K}.

Resposta

(a) T_2 \approx 269,2 K
(b) \theta_2 \approx 273,2 K

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