Em um processo isentrópico, o volume específico de uma amostra de ar seco aumenta de 300 para 500 \mathrm{~cm}^{3} \cdot \mathrm{~g}^{-1}. Se a temperatura inicial era 300 K , quais são os valores finais de T e p ?

Passo 1

O enunciado descreve um processo isentrópico que envolve ar seco, modelado como gás ideal com índice adiabático k = 1,4 e constante de gás R = 0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. São dados o volume específico inicial \displaystyle v_{1}=300\\ \mathrm{cm^{3}/g}, o volume específico final \displaystyle v_{2}=500\\ \mathrm{cm^{3}/g} e a temperatura inicial \displaystyle T_{1}=300\\ \mathrm{K}. Queremos encontrar a temperatura final \displaystyle T_{2} e a pressão final \displaystyle p_{2}. Para isso vamos usar:
  1. A equação de estado do gás ideal \displaystyle p\,v=R\,T.
  2. As relações isentrópicas
T\,v^{\,k-1}=\text{constante}\quad\text{e}\quad p\,v^{\,k}=\text{constante}.

Passo 2

Convertemos os volumes específicos de \mathrm{cm^{3}/g} para \mathrm{m^{3}/kg}:
\displaystyle v_{1}=300\\ \mathrm{cm^{3}/g}=0{,}300\\ \mathrm{m^{3}/kg},\qquad v_{2}=500\\ \mathrm{cm^{3}/g}=0{,}500\\ \mathrm{m^{3}/kg}.

Passo 3

Da relação isentrópica \displaystyle T\,v^{\,k-1}=\text{constante} temos
\frac{T_{2}}{T_{1}} =\Bigl(\frac{v_{1}}{v_{2}}\Bigr)^{\,k-1}.

Passo 4

Substituindo k=1{,}4, v_{1}/v_{2}=0{,}300/0{,}500=0{,}6 e T_{1}=300\\ \mathrm{K}, vem
T_{2} =300\;\bigl(0{,}6\bigr)^{0{,}4} \approx300\times0{,}8154 \approx244{,}6\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Usando a equação de estado para achar p_{1}:
p_{1} =\frac{R\,T_{1}}{v_{1}} =\frac{0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\times300\\ \mathrm{K}}{0{,}300\\ \mathrm{m^{3}/kg}} =287\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Da relação isentrópica \displaystyle p\,v^{\,k}=\text{constante} segue
p_{2} =p_{1}\,\Bigl(\frac{v_{1}}{v_{2}}\Bigr)^{\,k} =287\\ \mathrm{kPa}\times(0{,}6)^{1{,}4} \approx287\times0{,}4894 \approx140{,}4\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

Temperatura final \displaystyle T_{2}\approx245\\ \mathrm{K} e pressão final \displaystyle p_{2}\approx140\\ \mathrm{kPa}.

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