Durante o projeto de fundações profundas para um edifício comercial, foi prevista a utilização de estacas de concreto armado de seção quadrada, responsáveis por transmitir as cargas da superestrutura para camadas mais resistentes do subsolo. A investigação geotécnica identificou a presença de três camadas distintas de solo. Considere uma estaca de concreto submetida a uma carga vertical de 900 kN , com comprimento total de 18 m e seção quadrada de 0,45 \mathrm{~m} de lado. O módulo de elasticidade do concreto da estaca é \mathrm{E}=28 \mathrm{GPa}. O perfil do subsolo é descrito a seguir:
Camada 1 - Argila média
  • Espessura 10 m ;
  • Módulo de elasticidade do solo \mathrm{E}_{\mathrm{s}}=40 \mathrm{MPa};
  • \mathrm{v}=0,33\.
Camada 2 - Areia compacta
  • Espessura 12 m;
  • Módulo de elasticidade do solo Es =85 \mathrm{MPa};
  • \mathrm{v}=0,37\.
Camada 3 - Solo residual muito rígido
  • Espessura 8 m;
  • Módulo de elasticidade do solo Es =100 \mathrm{MPa};
  • \mathrm{v}=0,30\.
    Determine o recalque total da estaca, considerando a deformação elástica da estaca e a deformação das camadas de solo. Apresente o desenvolvimento do cálculo utilizado.

Passo 1

O enunciado pede o recalque total da estaca, considerando duas contribuições: a deformação elástica da própria estaca e a deformação elástica das camadas de solo ao longo do comprimento da estaca. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Carga vertical aplicada: P=900\\ \mathrm{kN}=900\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
  • Comprimento total da estaca: L=18\\ \mathrm{m}.
  • Seção quadrada da estaca: lado a=0{,}45\\ \mathrm{m}. Logo a área da seção é A=a^{2}.
  • Módulo de elasticidade do concreto da estaca: E=28\\ \mathrm{GPa}=28\times10^{3}\\ \mathrm{MPa} (ou 28\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}).
  • Perfil do subsolo (cada camada: espessura, E_{s}, \nu):
    • Camada 1 (argila média): espessura h_{1}=10\\ \mathrm{m}, E_{s1}=40\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}33.
    • Camada 2 (areia compacta): espessura total 12\\ \mathrm{m}, E_{s2}=85\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}37.
    • Camada 3 (solo muito rígido): espessura 8\\ \mathrm{m}, E_{s3}=100\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}30.
Observação importante (decisão de método): a estaca tem comprimento 18\\ \mathrm{m}, enquanto as camadas relatadas somam 30\\ \mathrm{m}. Logo a estaca atravessa completamente a Camada 1 ( 10\\ \mathrm{m}) e penetra 8\\ \mathrm{m} dentro da Camada 2. A Camada 3 não é penetrada pela estaca. Portanto, para calcular a deformação do solo ao longo do comprimento da estaca consideraremos apenas:
  • Camada 1: h_{1}=10\\ \mathrm{m} (total).
  • Parte da Camada 2 dentro da estaca: h_{2,\mathrm{eng}}=8\\ \mathrm{m}.
    A Camada 3 não participa da deformação ao longo do comprimento da estaca.
Método adotado (justificativa curta): usar comportamento elástico uniaxial (Lei de Hooke) tanto para o concreto quanto para o solo sob a seção da estaca, com tensão vertical média uniforme \sigma=\dfrac{P}{A}. Esse é o método mais direto e adequado para um cálculo elástico simples exigido aqui (método básico aprendido no início de mecânica dos solos/estruturas). Não se incorporam aqui efeitos de distribuição lateral do esforço, atrito de fuste, nem consolidação dependente do tempo — esses são modelos mais complexos e não pedidos explicitamente.

Passo 2

Converter unidades e calcular a área da seção da estaca.
A área da seção quadrada é
A=a^{2}.
Substituindo a=0{,}45\\ \mathrm{m}:
A=(0{,}45)^{2}=0{,}2025\\ \mathrm{m}^{2}.
Converter módulos para a mesma unidade conveniente (usarei \mathrm{MPa} para tensões e módulos, lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}). O módulo do concreto:
E=28\\ \mathrm{GPa}=28{,}000\\ \mathrm{MPa}.
Os módulos do solo já estão em \mathrm{MPa}: E_{s1}=40\\ \mathrm{MPa}, E_{s2}=85\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Calcular a tensão longitudinal média na seção da estaca provocada pela carga P.
A tensão média axial é dada por
\sigma=\frac{P}{A}.
Substituindo os valores:
\sigma=\frac{900\times10^{3}}{0{,}2025}\\ \mathrm{Pa}=4{,}444\,444{,}44\\ \mathrm{Pa}=4{,}444444\\ \mathrm{MPa}.
Explicação didática curta: \sigma é a intensidade de força por unidade de área que age verticalmente na seção da estaca. Aqui usamos a média porque, no modelo elástico simples, assumimos distribuição uniforme.

Passo 4

Princípio físico usado para calcular deformações (pequula “aula”): Lei de Hooke uniaxial e relação tensão-deformação.
Para um material linear-elástico em compressão uniaxial vale:
\varepsilon=\frac{\sigma}{E},
onde \varepsilon é a deformação axial (adimensional), \sigma é a tensão axial (mesma unidade de E), e E é o módulo de elasticidade do material.
O deslocamento axial (encurtamento) de um elemento de comprimento h sob deformação uniforme é
\delta=\varepsilon\,h=\frac{\sigma}{E}\,h.
Aplicação prática:
  • Para a estaca: usar E do concreto e h=L.
  • Para cada trecho de solo ao longo do comprimento da estaca: usar E_{s} do solo e a espessura desse trecho.
Observação sobre \nu (coeficiente de Poisson) fornecido: nesse cálculo uniaxial simples consideramos apenas deformação axial vertical sob tensão vertical média; \nu influenciaria deformações laterais e tensões tridimensionais, mas não é necessária na fórmula axial simples \varepsilon=\sigma/E. Por isso \nu fica sem uso neste método simplificado.

Passo 5

Calcular a contribuição das camadas de solo (deformação elástica do solo ao longo do comprimento engajado).
Usamos
\delta_{s,i}=\frac{\sigma}{E_{s,i}}\,h_{i},
onde h_{i} é a espessura da camada efetivamente engajada pela estaca.
Camada 1 ( h_{1}=10\\ \mathrm{m}, E_{s1}=40\\ \mathrm{MPa}):
\delta_{s,1}=\frac{4{,}444444}{40}\times10\\ \mathrm{m}=0{,}1111111\times10\\ \mathrm{m}=1{,}111111\\ \mathrm{m}.
Camada 2 — apenas a parte engajada: h_{2,\mathrm{eng}}=8\\ \mathrm{m}, E_{s2}=85\\ \mathrm{MPa}:
\delta_{s,2}=\frac{4{,}444444}{85}\times8\\ \mathrm{m}=0{,}0522870\times8\\ \mathrm{m}=0{,}418296\\ \mathrm{m}.
Somando as contribuições do solo (apenas camadas dentro de L=18\\ \mathrm{m}):
\delta_{s,\text{total}}=\delta_{s,1}+\delta_{s,2}=1{,}111111+0{,}418296=1{,}529407\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: essas deformações são bem grandes porque o módulo do solo é pequeno se comparado ao módulo do concreto; é comum que o recalque seja dominado pela compressibilidade do solo, não pelo encurtamento da estaca.

Passo 6

Calcular o encurtamento elástico da própria estaca.
A fórmula é a mesma: \delta_{p}=\dfrac{\sigma}{E}\,L. Com E=28{,}000\\ \mathrm{MPa} e L=18\\ \mathrm{m}:
\delta_{p}=\frac{4{,}444444}{28{,}000}\times18\\ \mathrm{m}=\frac{80{,}000}{28{,}000}\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=0{,}00285714\\ \mathrm{m}.
Convertendo para mm, \delta_{p}=2{,}857\\ \mathrm{mm}. Em metros, \delta_{p}=0{,}002857\\ \mathrm{m}.
Explicação: o concreto é muito mais rígido que o solo, por isso a contribuição da estaca é pequena.

Passo 7

Somar as contribuições (estaca + solo) para obter o recalque total.
\delta_{\text{total}}=\delta_{p}+\delta_{s,\text{total}}=0{,}002857+1{,}529407=1{,}532264\\ \mathrm{m}.
Arredondando para três algarismos significativos: \delta_{\text{total}}\approx1{,}532\\ \mathrm{m} (ou, em termos práticos, cerca de 1{,}53\\ \mathrm{m}).
Observações finais e interpretação (didática/empática): isso significa que a maior parte do recalque vem da compressibilidade da argila (Camada 1). O resultado é numérico e depende fortemente da hipótese de tensão média uniforme sob a seção da estaca. Em problemas reais, analisaria-se distribuição de esforço entre ponta e fuste, possíveis efeitos de consolidação (tempo), e a área de influência no solo (não apenas a área da estaca). Mas para uma prova onde se pede cálculo elástico simples, este procedimento é o que se espera.

Resposta

1,532264\ \mathrm{m}

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