E5.10 Um sistema de controle de segunda ordem possui a função de transferência em malha fechada
. Seguem-se as especificaçōes do sistema para uma entrada em degrau:
(1) Máxima ultrapassagem percentual M.U.P.
.
(2) Tempo de acomodação
.
(3) Instante de pico
.
Mostre a área admissível para os polos de
de modo a alcançar a resposta desejada. Use um critério de acomodaçāo de
para determinar o tempo de acomodação.
(1) Máxima ultrapassagem percentual M.U.P.
(2) Tempo de acomodação
(3) Instante de pico
Passo 1
Resumo do que o enunciado pede e dados fornecidos.
- Temos um sistema de segunda ordem em malha fechada com função de transferência
. - Especificações para resposta a um degrau:
- Máxima ultrapassagem percentual (M.U.P.)
. - Tempo de acomodação
. (Usar critério de .) - Instante de pico
.
- Máxima ultrapassagem percentual (M.U.P.)
- Objetivo: determinar e mostrar a região admissível para os polos de
no plano que garante essas especificações.
Informações relevantes que foram dadas:
- Os três requisitos numéricos acima (5%,
s com 2% e s). - Podemos assumir a forma padrão dos polos de um sistema de segunda ordem subamortecido (pois o enunciado fala em ultrapassagem e tempo de pico).
Passo 2
Representação dos polos de um segundo ordem e significado das variáveis.
- Para um par de polos complexos conjugados de um sistema de segunda ordem subamortecido usamos a parametrização padrão:
onde:
-
é o coeficiente de amortecimento (damping ratio), adimensional; -
é a frequência natural não amortecida, em rad/s; -
é a parte real positiva do polo (note que no plano o polo está em ); -
é a frequência amortecida (parte imaginária em módulo). - Essas duas grandezas
e conectam-se diretamente com as especificações tempo de pico, overshoot e tempo de acomodação através de fórmulas conhecidas para resposta ao degrau.
Explico as fórmulas que vamos usar (cada uma é padrão e derivável da solução da EDO de segunda ordem):
- Percentual de ultrapassagem (M.U.P. ou
):
Aqui o expoente vem do decaimento exponencial da envoltória da resposta amortecida; maior
→ menor ultrapassagem.
- Instante de pico:
Isto porque o primeiro pico ocorre quando a fase do termo oscilatório atinge
.
- Tempo de acomodação (critério de
, aproximação usual para sistemas de segunda ordem):
Esta fórmula é uma aproximação prática muito usada em projeto/avaliação: garante que o termo exponencial
seja pequeno o bastante (2%).
Passo 3
Aplicando a condição da ultrapassagem
para obter um limite em
.
Começamos da fórmula da ultrapassagem e impomos a desigualdade:
Dividindo por
:
Tomando log natural (função monótona crescente) e lembrando que
:
Multiplicando por
(inverte o sinal):
Calculemos numericamente
:
Agora isolamos
. Quadrando ambos os lados (todos positivos):
Rearranjando:
logo
Calculemos numericamente:
Portanto, para ter
precisamos de
Passo 4
Aplicando a condição do instante de pico
para obter uma desigualdade em
(ou em
).
Da fórmula do tempo de pico:
Isto implica
Mas
, então obtemos a forma direta e muito simples:
Numericamente
, logo a parte imaginária em módulo dos polos deve ser maior do que
.
Passo 5
Aplicando a condição do tempo de acomodação
(critério de
).
Usando a aproximação usual:
Isto implica
Lembremos que
é a parte real positiva associada ao polo (com Re
). Então esta condição é
Passo 6
Expressando todas as condições em termos de
e em termos das coordenadas do polo
.
Condições obtidas até agora:
- Do overshoot:
. - Do pico:
. - Do acomodação:
.
Podemos reescrever a condição
em termos de
e
. Note que
Isolando
:
Tomando raiz e definindo uma constante
:
Usando
obtemos numericamente
Portanto a exigência de
se traduz em
Resumo das desigualdades em
:
-
. -
. -
.
Passo 7
Combinação das desigualdades e determinação do limite mínimo para
.
Para que exista
que satisfaça simultaneamente
e
é necessário que
Compute:
Portanto é necessário (e, neste contexto, suficiente) que
Observe que esta condição
é mais restritiva que
exigida por
s; logo a condição de pico + overshoot força um deslocamento real mínimo maior.
Assim as condições finais em
que garantem as três especificações são:
-
, -
.
Passo 8
Tradução das condições para o plano
(coordenadas
,
) e interpretação geométrica.
Recordando
(pois polos
), as desigualdades tornam-se:
-
. -
Interpretação geométrica (visualização mental do conjunto de polos aceitáveis):
- A região está no semiplano esquerdo do plano
(Re negativa). - Deve estar à esquerda da reta vertical
. - A parte imaginária em módulo deve ser maior que
(ou seja, fora da faixa ). - Além disso os polos devem ficar dentro de um “cone” que sai da origem com inclinação dada por
: . Esse cone corresponde aos polos com . - A região admissível é a interseção: esquerda de
, fora da faixa , e dentro do cone mencionado. Há simetria em relação ao eixo real (polos conjugados).
Passo 9
Exemplo prático (para te dar confiança sobre como escolher polos na prova).
- Por exemplo, escolha
(ou seja polo em ). Então . Podemos escolher (cumpre ). O polo fica em
e satisfaz todas as três especificações (M.U.P. menor que
,
s e
s) — é uma maneira rápida de conferir se a sua escolha de polos está dentro da região admissível durante a prova.