E5.9 Um sistema de cąntrole com realimentação unitária negativa possui a função de transferência em malha
L(s)=G_{c}(s) G(s)=\frac{K}{s(s+\sqrt{2 K})} .
s) = a em ine a or fi.
(a) Determine a máxima ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação (usando um critério de 2 \% ) devido a uma entrada em degrau unitário.
(b) Para que faixa de variação de K o tempo de acomodação é menor que 1 segundo?
Figure 1: FIGURA E5.7 Controlador de nivel de açúcar no sangue.
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Passo 1

O enunciado dá a função de malha em laço aberto
L(s)=G_{c}(s)G(s)=\frac{K}{s\bigl(s+\sqrt{2K}\bigr)}.
Há realimentação unitária negativa. As tarefas pedidas são:
(a) Determinar a máxima ultrapassagem percentual (percentual de overshoot) e o tempo de acomodação usando o critério de 2\% para a resposta a um degrau unitário.
(b) Determinar para que faixa de variação de K o tempo de acomodação é menor que 1 segundo.
Informações relevantes fornecidas:
  • Sistema em realimentação unitária negativa com L(s) dado acima.
  • Entrada considerada: degrau unitário.
  • Critério de acomodação: 2\%.
  • Parâmetro livre: K>0 (implícito, pois aparece \sqrt{2K}).

Passo 2

Obter a função de transferência em malha fechada T(s) e o polinômio característico.
Para realimentação unitária negativa, a função de transferência em malha fechada é
T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}.
Substituindo L(s):
T(s)=\frac{\dfrac{K}{s\bigl(s+\sqrt{2K}\bigr)}}{1+\dfrac{K}{s\bigl(s+\sqrt{2K}\bigr)}}=\frac{K}{s\bigl(s+\sqrt{2K}\bigr)+K}.
Expandindo o denominador:
s\bigl(s+\sqrt{2K}\bigr)+K = s^{2}+\sqrt{2K}\,s + K.
Logo
T(s)=\frac{K}{s^{2}+\sqrt{2K}\,s+K}.

Passo 3

Colocar o denominador na forma padrão de um sistema de segunda ordem e identificar \omega_{n} e \zeta.
A forma padrão do denominador de um segundo ordem é
s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
Comparando com s^{2}+\sqrt{2K}\,s+K, obtemos duas igualdades:
\omega_{n}^{2}=K
e
2\zeta\omega_{n}=\sqrt{2K}.
Da primeira igualdade segue
\omega_{n}=\sqrt{K}.
Substituindo em 2\zeta\omega_{n}=\sqrt{2K}:
2\zeta\sqrt{K}=\sqrt{2K}.
Dividindo por \sqrt{K} (assumindo K>0):
2\zeta=\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad \zeta=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071.
Observação importante: \zeta sai independente de K; só \omega_{n} depende de K via \omega_{n}=\sqrt{K}.

Passo 4

Determinar a máxima ultrapassagem percentual (percent overshoot).
Para um sistema subamortecido ( 0<\zeta<1), a fórmula padrão para ultrapassagem percentual máxima é
\text{PO} = e^{-\dfrac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}\times 100\%.
Aqui \zeta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Calculemos os termos:
1-\zeta^{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, \qquad \sqrt{1-\zeta^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Então
\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}=1.
Logo
\text{PO}=e^{-\pi}\times 100\%.
Calculando numericamente e^{-\pi}\approx 0,043214, obtemos
\text{PO}\approx 4,3214\%\approx 4,32\%.
Explicando intuitivamente: a ultrapassagem depende apenas do fator \zeta. Como aqui \zeta\approx 0,707, o sistema tem uma ultrapassagem pequena (cerca de 4{,}3\%).

Passo 5

Determinar o tempo de acomodação (critério de 2\%).
Regra prática (padrão) para sistemas de segunda ordem subamortecidos: o tempo de acomodação T_{s} pelo critério de 2\% é aproximadamente
T_{s}\approx \frac{4}{\zeta\omega_{n}}.
Explicação rápida: a resposta de um segundo ordem subamortecido possui um fator exponencial dominante e^{-\zeta\omega_{n} t}; requer-se que esse exponencial caia até um nível da ordem de 2\%, e a fórmula acima é a aproximação usual usada em provas e projetos.
Substituindo \zeta=\dfrac{1}{\sqrt{2}} e \omega_{n}=\sqrt{K}:
T_{s}\approx \frac{4}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{K}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{K}}.
Portanto o tempo de acomodação depende de K como T_{s}=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{K}} segundos.

Passo 6

Resolver a desigualdade para (b): querer T_{s}<1 segundo.
Usando a expressão obtida:
\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{K}}<1.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{K} e dividindo por 1 (positivo), obtemos
4\sqrt{2}<\sqrt{K}.
Elevando ao quadrado ambos os lados:
(4\sqrt{2})^{2}<K \quad\Rightarrow\quad 16\cdot 2 < K \quad\Rightarrow\quad 32 < K.
Assim a condição para T_{s}<1 é
K>32.
(Lembrando que K precisa ser positivo para que a fórmula original faça sentido.)

Resposta

(a) \text{Ultrapassagem máxima}=\;e^{-\pi}\times 100\%\approx 4{,}32\%á. \;T_{s}\;(2\%)=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{K}} segundos.
(b) K>32.

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