E5.9 Um sistema de cąntrole com realimentação unitária negativa possui a função de transferência em malha
s) = a em ine a or fi.
(a) Determine a máxima ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação (usando um critério de
) devido a uma entrada em degrau unitário.
(b) Para que faixa de variação de
o tempo de acomodação é menor que 1 segundo?
Figure 1: FIGURA E5.7 Controlador de nivel de açúcar no sangue.\captionsetup{labelformat=empty}
(a) Determine a máxima ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação (usando um critério de
(b) Para que faixa de variação de
Figure 1: FIGURA E5.7 Controlador de nivel de açúcar no sangue.
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Passo 1
O enunciado dá a função de malha em laço aberto
Há realimentação unitária negativa. As tarefas pedidas são:
(a) Determinar a máxima ultrapassagem percentual (percentual de overshoot) e o tempo de acomodação usando o critério de para a resposta a um degrau unitário.
(b) Determinar para que faixa de variação de o tempo de acomodação é menor que
segundo.
(a) Determinar a máxima ultrapassagem percentual (percentual de overshoot) e o tempo de acomodação usando o critério de
(b) Determinar para que faixa de variação de
Informações relevantes fornecidas:
- Sistema em realimentação unitária negativa com
dado acima. - Entrada considerada: degrau unitário.
- Critério de acomodação:
. - Parâmetro livre:
(implícito, pois aparece ).
Passo 2
Obter a função de transferência em malha fechada
e o polinômio característico.
Para realimentação unitária negativa, a função de transferência em malha fechada é
Substituindo
:
Expandindo o denominador:
Logo
Passo 3
Colocar o denominador na forma padrão de um sistema de segunda ordem e identificar
e
.
A forma padrão do denominador de um segundo ordem é
Comparando com
, obtemos duas igualdades:
e
Da primeira igualdade segue
Substituindo em
:
Dividindo por
(assumindo
):
Observação importante:
sai independente de
; só
depende de
via
.
Passo 4
Determinar a máxima ultrapassagem percentual (percent overshoot).
Para um sistema subamortecido (
), a fórmula padrão para ultrapassagem percentual máxima é
Aqui
. Calculemos os termos:
Então
Logo
Calculando numericamente
, obtemos
Explicando intuitivamente: a ultrapassagem depende apenas do fator
. Como aqui
, o sistema tem uma ultrapassagem pequena (cerca de
).
Passo 5
Determinar o tempo de acomodação (critério de
).
Regra prática (padrão) para sistemas de segunda ordem subamortecidos: o tempo de acomodação
pelo critério de
é aproximadamente
Explicação rápida: a resposta de um segundo ordem subamortecido possui um fator exponencial dominante
; requer-se que esse exponencial caia até um nível da ordem de
, e a fórmula acima é a aproximação usual usada em provas e projetos.
Substituindo
e
:
Portanto o tempo de acomodação depende de
como
segundos.
Passo 6
Resolver a desigualdade para (b): querer
segundo.
Usando a expressão obtida:
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
(positivo), obtemos
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Assim a condição para
é
(Lembrando que
precisa ser positivo para que a fórmula original faça sentido.)
Resposta
(a)
.
segundos.
(b) .
(b)