Efetue as integrais indefinidas abaixo. Não se esqueça de inserir a constante de integração C.
\int(3 x+2)^{2} d x (Dica: Desenvolva o produto notável primeiro)

Passo 1

O enunciado dá a integral indefinida
\int (3x+2)^{2}\,dx
e pede que seja calculada, incluindo a constante de integração C. A dica do enunciado recomenda desenvolver o produto notável primeiro (ou seja, expandir o quadrado) antes de integrar.

Passo 2

Vamos desenvolver o quadrado do binômio. Lembrando que (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, com a=3x e b=2. Portanto,
(3x+2)^2 = (3x)^2 + 2\cdot(3x)\cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4.

Passo 3

Agora usamos propriedades básicas de integração que vamos explicar rapidinho e de forma prática:
  • Linearidade da integral: \displaystyle \int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
  • Constante fatorada: \displaystyle \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx, para constante a.
  • Regra da potência (para integrar potências de x): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando essas regras, integramos termo a termo o polinômio 9x^2+12x+4.

Passo 4

Integramos cada termo separadamente, mostrando os cálculos:
  • Para \displaystyle \int 9x^{2}\,dx, pela constante fatorada e regra da potência com n=2:
\int 9x^{2}\,dx = 9\cdot\frac{x^{3}}{3} = 3x^{3}.
  • Para \displaystyle \int 12x\,dx, com n=1:
\int 12x\,dx = 12\cdot\frac{x^{2}}{2} = 6x^{2}.
  • Para \displaystyle \int 4\,dx (integração de constante):
\int 4\,dx = 4x.

Passo 5

Somando os resultados e acrescentando a constante C, obtemos a primitiva completa:
3x^{3}+6x^{2}+4x+C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional mas útil na prova): derivando o resultado para checar se volta ao integrando,
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{3}+6x^{2}+4x+C\bigr) = 9x^{2}+12x+4,
que é exatamente (3x+2)^2, então a primitiva está correta.

Resposta

3x^{3}+6x^{2}+4x+C