Efetue as integrais indefinidas abaixo. Não se esqueça de inserir a constante de integração C.
(Dica: Desenvolva o produto notável primeiro)
Passo 1
O enunciado dá a integral indefinida
e pede que seja calculada, incluindo a constante de integração
. A dica do enunciado recomenda desenvolver o produto notável primeiro (ou seja, expandir o quadrado) antes de integrar.
Passo 2
Vamos desenvolver o quadrado do binômio. Lembrando que
, com
e
. Portanto,
Passo 3
Agora usamos propriedades básicas de integração que vamos explicar rapidinho e de forma prática:
- Linearidade da integral:
. - Constante fatorada:
, para constante . - Regra da potência (para integrar potências de
): para ,
Aplicando essas regras, integramos termo a termo o polinômio
.
Passo 4
Integramos cada termo separadamente, mostrando os cálculos:
- Para
, pela constante fatorada e regra da potência com :
- Para
, com :
- Para
(integração de constante):
Passo 5
Somando os resultados e acrescentando a constante
, obtemos a primitiva completa:
Passo 6
Verificação rápida (opcional mas útil na prova): derivando o resultado para checar se volta ao integrando,
que é exatamente
, então a primitiva está correta.