Efetue:
\left(\frac{3 a}{b^{2}}\right)^{4}=

Passo 1

O enunciado pede calcular e simplificar a expressão \left(\frac{3 a}{b^{2}}\right)^{4}.
Informações relevantes dadas: \,a e \,b são variáveis (não conhecemos seus valores) e \,b\neq 0 porque aparece no denominador. A tarefa é escrever o resultado de forma simplificada, sem parênteses desnecessários.

Passo 2

Regra usada — potência de uma fração: para quaisquer expressões \,x, \,y (com \,y\neq0) e inteiro positivo \,n,
\left(\frac{x}{y}\right)^{n}=\frac{x^{n}}{y^{n}}.
Intuição: elevar uma fração à potência n equivale a multiplicar a fração por ela mesma n vezes, logo o numerador e o denominador são elevados separadamente. Exemplo simples: \left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2^{2}}{3^{2}}=\frac{4}{9}.

Passo 3

Regra usada — potência do produto: para quaisquer x,y e inteiro n,
(xy)^{n}=x^{n}y^{n}.
Aplicação aqui: no numerador temos o produto 3a, então (3a)^{4}=3^{4}a^{4}. Isso significa que o 3 e o a são cada um elevados à quarta potência.

Passo 4

Regra usada — potência de potência: para qualquer x e inteiros m,n,
(x^{m})^{n}=x^{m\cdot n}.
Aplicação aqui: (b^{2})^{4}=b^{2\cdot 4}=b^{8}. Ou seja, os expoentes multiplicam-se.

Passo 5

Agora aplicamos as regras ao problema passo a passo:
\left(\frac{3a}{b^{2}}\right)^{4}=\frac{(3a)^{4}}{(b^{2})^{4}}.
Pelo Passo 3:
(3a)^{4}=3^{4}a^{4}.
Pelo Passo 4:
(b^{2})^{4}=b^{8}.
Portanto,
\left(\frac{3a}{b^{2}}\right)^{4}=\frac{3^{4}a^{4}}{b^{8}}.
E como 3^{4}=3\cdot3\cdot3\cdot3=81, obtemos
\left(\frac{3a}{b^{2}}\right)^{4}=\frac{81\,a^{4}}{b^{8}}.

Passo 6

Para fixar: exemplo parecido — \left(\frac{2x}{y^{3}}\right)^{2}=\frac{2^{2}x^{2}}{y^{6}}=\frac{4x^{2}}{y^{6}}. A mesma ideia de distribuir a potência ao numerador e denominador e usar (x^{m})^{n}=x^{mn}.

Resposta

\displaystyle \frac{81 a^{4}}{b^{8}}