Efetue as operações a seguir.
Multiplicação (expresse as respostas na forma retangular para itens (a) até (d) e em forma polar para os restantes):
\left.0,002 \angle 120^{\circ}\right)\left(0,5 \angle 200^{\circ}\right)\left(40 \angle-60^{\circ}\right)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • São três números complexos dados em forma polar:
    • \,0,002\angle120^\circ
    • \,0,5\angle200^\circ
    • \,40\angle-60^\circ
  • Pede para efetuar a multiplicação desses três números: \left(0,002\angle120^\circ\right)\left(0,5\angle200^\circ\right)\left(40\angle-60^\circ\right).
  • Informação relevante (retirada diretamente do enunciado): os três fatores estão já em forma polar (módulo e argumento em graus).

Passo 2

Regra útil (fórmula) — multiplicação em forma polar:
  • Se dois números complexos estão em forma polar como \,r_1\angle\theta_1 e \,r_2\angle\theta_2, então o produto é
r_1\angle\theta_1\cdot r_2\angle\theta_2 = (r_1 r_2)\angle(\theta_1+\theta_2).
  • Nesta fórmula:
    • r_1,r_2 são os módulos (números reais não negativos);
    • \theta_1,\theta_2 são os argumentos (ângulos) em graus (ou radianos, se preferir);
    • Para mais fatores, a regra estende-se: multiplica-se todos os módulos e soma-se todos os argumentos.
  • Intuição rápida: em polar um complexo é r(\cos\theta + i\sin\theta); produto multiplica módulos e soma ângulos por propriedades do seno e cosseno (ou por e^{i\theta}).

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso produto — calcular primeiro o módulo do resultado:
  • Multiplica-se os módulos:
0,002\times 0,5 = 0,001.
0,001\times 40 = 0,04.
Portanto o módulo do produto é \,0,04.

Passo 4

Agora soma dos argumentos (ângulos):
  • Soma direta dos ângulos dados:
120^\circ + 200^\circ + (-60^\circ) = 120^\circ + 200^\circ - 60^\circ = 260^\circ.
  • Observação sobre normalização de ângulos: \,260^\circ é uma medida válida do argumento. Às vezes prefere-se dar o argumento no intervalo (-180^\circ,180^\circ]; nesse caso \,260^\circ equivale a -100^\circ (porque 260^\circ-360^\circ=-100^\circ). Ambas as formas representam o mesmo número complexo em polar.

Passo 5

Escrevendo o resultado em forma polar:
  • Pelo que calculamos, o produto é
0,04\angle260^\circ.
  • (equivalente à forma \,0,04\angle-100^\circ se preferir o argumento no intervalo (-180^\circ,180^\circ]).

Passo 6

(Explicação extra, para você saber converter para retangular caso precise na prova)
  • Para converter de polar para retangular usa-se:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde o número em retangular é x+iy.
  • Aplicando ao nosso caso (apenas para aprendizado):
x = 0,04\cos260^\circ,\qquad y = 0,04\sin260^\circ.
  • Valores aproximados (se calcular com uma calculadora):
\cos260^\circ \approx -0,173648,\qquad \sin260^\circ \approx -0,984808,
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x\approx 0,04\cdot(-0,173648) \approx -0,0069459,
y\approx 0,04\cdot(-0,984808) \approx -0,0393923,
e portanto a forma retangular aproximada seria -0,006946 - 0,039392\,i. Mas a forma pedida (veja enunciado) é polar — então mantenha a resposta polar abaixo.

Resposta

0,04\angle260^\circ