Efetue a seguinte integração:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
.
Informações importantes dadas:
Informações importantes dadas:
- O integrando é a função valor absoluto
. - O intervalo de integração é de
até . - O ponto onde o argumento do valor absoluto zera é
(ou seja, em ).
As perguntas implícitas: calcular numericamente essa integral definida.
Passo 2
Conceito importante sobre valor absoluto (relembrando devagar): para qualquer número real
Aplicando isso a
, dividimos a integral em duas integrais no ponto
:
Passo 3
Lembrete rápido sobre antiderivadas (Fundamental do Cálculo): se
é uma antiderivada de
(ou seja,
), então
Antiderivadas básicas que vamos usar:
- Para
, uma antiderivada é porque . - Para constante
, uma antiderivada é porque .
Assim, antiderivada de
é
e antiderivada de
é
Vou usar essas antiderivadas para avaliar cada integral definida.
Passo 4
Calcular a primeira integral
usando a antiderivada
:
Avaliação em
:
Avaliação em
dá
. Portanto a primeira integral vale
.
Passo 5
Calcular a segunda integral
usando a antiderivada
:
Avaliação em
:
Avaliação em
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Portanto a segunda integral também vale
.
Passo 6
Somando as duas partes:
Passo 7
Interpretação geométrica rápida (ajuda a memorizar): o gráfico de
é um “V” com vértice em
. Da
a
forma-se um triângulo de base
e altura
; da
a
forma-se outro triângulo igual. Cada triângulo tem área
, somando
. Isso confirma o resultado calculado acima. Força aí — é uma conta curtinha e elegante!