Efetue a seguinte integração:
\int_{0}^{10}|t-5| \mathrm{d} t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{10} |t-5|\,\mathrm{d}t.
Informações importantes dadas:
  • O integrando é a função valor absoluto |t-5|.
  • O intervalo de integração é de t=0 até t=10.
  • O ponto onde o argumento do valor absoluto zera é t=5 (ou seja, t-5=0 em t=5).
As perguntas implícitas: calcular numericamente essa integral definida.

Passo 2

Conceito importante sobre valor absoluto (relembrando devagar): para qualquer número real x\), \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Aplicando isso a x=t-5\], obtemos a expressão por partes: \[|t-5| = \begin{cases} 5-t, & \text{se } t<5,\\[4pt] t-5, & \text{se } t\ge 5. \end{cases}\] Como a natureza da função muda em \(t=5, dividimos a integral em duas integrais no ponto 5:
\int_{0}^{10} |t-5|\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{5} (5-t)\,\mathrm{d}t \;+\; \int_{5}^{10} (t-5)\,\mathrm{d}t.]

Passo 3

Lembrete rápido sobre antiderivadas (Fundamental do Cálculo): se F é uma antiderivada de f (ou seja, F'(t)=f(t)), então
\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b)-F(a).
Antiderivadas básicas que vamos usar:
  • Para t, uma antiderivada é \dfrac{t^2}{2} porque \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(\dfrac{t^2}{2}\right) = t.
  • Para constante 5, uma antiderivada é 5t porque \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(5t)=5.
Assim, antiderivada de 5-t é
5t - \dfrac{t^2}{2},
e antiderivada de t-5 é
\dfrac{t^2}{2} - 5t.
Vou usar essas antiderivadas para avaliar cada integral definida.

Passo 4

Calcular a primeira integral \displaystyle \int_{0}^{5} (5-t)\,\mathrm{d}t usando a antiderivada 5t-\dfrac{t^2}{2}:
\int_{0}^{5} (5-t)\,\mathrm{d}t = \left[\,5t - \dfrac{t^2}{2}\,\right]_{0}^{5}.
Avaliação em t=5:
5\cdot 5 - \dfrac{5^2}{2} = 25 - \dfrac{25}{2} = \dfrac{25}{2}.
Avaliação em t=0 0. Portanto a primeira integral vale \dfrac{25}{2}.

Passo 5

Calcular a segunda integral \displaystyle \int_{5}^{10} (t-5)\,\mathrm{d}t usando a antiderivada \dfrac{t^2}{2}-5t:
\int_{5}^{10} (t-5)\,\mathrm{d}t = \left[\,\dfrac{t^2}{2}-5t\,\right]_{5}^{10}.
Avaliação em t=10:
\dfrac{10^2}{2} - 5\cdot 10 = \dfrac{100}{2} - 50 = 50 - 50 = 0.
Avaliação em t=5:
\dfrac{5^2}{2} - 5\cdot 5 = \dfrac{25}{2} - 25 = -\dfrac{25}{2}.
Subtraindo (valor em 10 menos valor em 5):
0 - \left(-\dfrac{25}{2}\right) = \dfrac{25}{2}.
Portanto a segunda integral também vale \dfrac{25}{2}.

Passo 6

Somando as duas partes:
\int_{0}^{10} |t-5|\,\mathrm{d}t = \dfrac{25}{2} + \dfrac{25}{2} = 25.

Passo 7

Interpretação geométrica rápida (ajuda a memorizar): o gráfico de y=|t-5| é um “V” com vértice em (5,0). Da 0 a 5 forma-se um triângulo de base 5 e altura 5; da 5 a 10 forma-se outro triângulo igual. Cada triângulo tem área \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 5 = \tfrac{25}{2}, somando 25. Isso confirma o resultado calculado acima. Força aí — é uma conta curtinha e elegante!

Resposta

25

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