Um eixo de aço deve transmitir 150 kW à velocidade de 360 rpm . Sabendo que G=77,2 GPa, projete um eixo de seção transversal cheia de modo que a tensão máxima não exceda 50 MPa e que o ângulo de torção em um comprimento de 2,5 m não exceda 3^circ.

Passo 1

Beleza, aqui o que a questão pede: temos um eixo de aço que deve transmitir 150 kW rodando a 360 rpm. O material tem módulo de cisalhamento G=77,2rm ,GPa. Queremos que a tensão de cisalhamento máxima não passe de 50 MPa e que o eixo torça no máximo 3^circ ao longo de 2,5rm ,m.
Conteúdo: torção de eixos – cálculo de torque, tensão de cisalhamento em eixos circulares sólidos e ângulo de torção.
O que vamos precisar:
  1. Converter potência e velocidade em torque.
  2. Aplicar a fórmula da tensão de cisalhamento tau = tfracT,rJ (ou forma prática tau = tfrac16,Tpi d^3).
  3. Aplicar a fórmula do ângulo de torção varphi = tfracT,LJ,G (com J = tfracpi d^432).

Passo 2

Calcular o torque T a partir de potência P e velocidade angular omega:
  1. Velocidade: 360rm,rpm = 6,rev/s, então omega = 6cdot2pi = 12pirm,rad/s.
  2. Potência e torque:
P = T,omega Longrightarrow T = Pomega = 150,000rm,W12pirm,rad/s approx 3,979rm,Ncdot m

Passo 3

Limite pela tensão de cisalhamento máxima taumax=50rm,MPa.
Fórmula prática para eixo sólido de diâmetro d:
tau = 16,Tpi,d^3 <= 50times10^6rm,Pa
Isolando d^3:
d^3 >= 16,Tpi,taumax = 16cdot3,979picdot50times10^6approx 4,055times10^-4rm,m^3
Logo
d >= raiz[3]4,055times10^-4approx 0,0747rm,m = 74,7rm,mm

Passo 4

Limite pelo ângulo de torção varphi <= 3^circ. Primeiro convertemos em rad:
varphi = 3^circcdotpi180 = 0,05236rm,rad
Fórmula do ângulo de torção:
varphi = T,LJ,G, J = pi,d^432
Substituindo:
varphi = 32,T,Lpi,G,d^4 <= 0,05236
Isolando d^4:
$$d^4 \ge \frac{32,T,L}{\pi,G,\varphi}
= \frac{32\cdot3,979\cdot2{,}5}{\pi\cdot77{,}2\times10^9\cdot0{,}05236}
\approx 2{,}505\times10{-5}\rm,m4. d^4 >= 32,T,Lpi,G,varphi = 32cdot3,979cdot2,5picdot77,2times10^9cdot0,05236 approx 2,505times10^-5rm,m^4d \ge \sqrt[4]{2{,}505\times10^{-5}}\approx 0{,}0721\rm,m = 72{,}1\rm,mm.$$

Passo 5

Para satisfazer ambas as condições, a gente escolhe o diâmetro maior:
de tensão to 74,7rm,mm e de torção to 72,1rm,mm.

Resposta

Diamêtro mínimo do eixo: d = 74,7rm,mm (arredondando para 75 mm, por exemplo).

Exercícios relacionados