Determine o momento sobre a origem O da força F=-i+3 j+5 k que atua no ponto A. Considere que a posição A é (a) r=2 i-4 j+k, (b) r=4 i+6 j+10 k e(c) r=-3 i+9 j+15 k.

Passo 1

Beleza, aqui o lance é: temos uma força
F = -i + 3,j + 5,k
que “empurra” o ponto A, cuja posição em relação à origem O é dada por um vetor posição MO = r times F . A tarefa é achar o momento (ou torque) dessa força em relação a O, ou seja
Conteúdo: produto vetorial de dois vetores em 3D. Para resolver vamos precisar
  • da definição de ,
  • de como montar o determinante e calcular cada componente.

Passo 2

Produto vetorial na prática: se
r = (r1,,r2,,r3), F = (F1,,F2,,F3),
então
rtimesF = i & j & k r1 & r2 & r3 F1 & F2 & F3 =l(r2F3 - r3F2r)i -l(r1F3 - r3F1r)j +l(r1F2 - r2F1r)k
Explicando: você pega o determinante de uma matriz 3×3 — isso gera 3 produtos principais, cada um associado a , trocando sinal do termo de .

Passo 3

Caso (a): r2F3 - r3F2 = (-4)cdot5 - (1)cdot3 = -20 - 3 = -23 .
Então r1F3 - r3F1 = (2)cdot5 - (1)cdot(-1) = 10 +1 = 11, e r1F2 - r2F1 = (2)cdot3 -(-4)cdot(-1) = 6 -4 = 2 .
Vamos calcular:
  • Componente MO^(a) = -23,i ;-;11,j ;+;2,k :
  • Componente : mas lembre-se do sinal “-” na fórmula, então fica .
  • Componente :
Logo

Passo 4

Caso (b): MO^(b) = 0,i ;-;30,j ;+;18,k .
Aqui . Mesmos .
  • :
  • : , com sinal “-” dá .
  • :
    Logo

Passo 5

Caso ©: MO^(c) = 0,i + 0,j + 0,k = 0 .
Então .
  • :
  • : , com “-” dá (ou só 0).
  • :
    Então

Resposta

MO^(a) = -23,i -11,j +2,k, MO^(b) = ;0,i -30,j +18,k, MO^(c) = 0

Exercícios relacionados