Um eixo de diâmetro 40 mm deve ser endurecido pela austenitização seguido por têmpera em óleo. O centro da barra deve ter 100 \% de martensita. A Tabela abaixo fornece a taxa de resfriamento no centro de uma barra resfriada em óleo com função do diâmetro da barra.
Diâmetro da barra (\mathrm{mm}) Velocidade de Resfriamento \left({ }^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{s}\right)
500 0,17
100 2,5
20 50
5 667
Foi proposto fazer o eixo com um aço Cr-Ni-Mo. As velocidades de resfriamento para estes aços são dadas pela equação empírica:
\log _{10}\left(\mathrm{CCR},{ }^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{s}\right)=4,3-3,27 \mathrm{C}-((\mathrm{Mn}+\mathrm{Cr}+\mathrm{Mo}+\mathrm{Ni}) / 1,6)
onde o símbolo de cada elemento denota sua porcentagem em peso.
Aço Composição Química(%)
C Mn Cr Mo Ni
A 0,30 1,80 0,35 0,15 0,50
B 0,40 0,60 1,20 0,30 1,50
C 0,36 0,70 1,50 0,25 1,50
D 0,40 0,60 1,20 0,15 1,50
E 0,41 0,85 0,50 0,25 0,55
F 0,40 0,65 0,75 0,25 0,85
G 0,40 0,60 0,65 0,55 2,55
Relacione \log ( diâmetro da barra) em função \log ( velocidade de resfriamento) e ache a equação matemática?
Quais dos aços acima podem ser usados na fabricação desse eixo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: relacionar log(diâmetro) em função de log(velocidade de resfriamento) e achar a equação matemática; e determinar quais aços da tabela podem ser usados para que o centro do eixo (diâmetro 40\\ \mathrm{mm}) apresente 100\% de martensita.\n
Dados fornecidos (retirados da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} \text{Diâmetro (mm)} & \text{Velocidade de resfriamento }(^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{s})\\hline 500 & 0,17\\\\ 100 & 2,5\\\\ 20 & 50\\\\ 5 & 667 \end{array}â
Também foi dada a equação empírica para a taxa crítica de resfriamento (CCR) dos aços:
\log_{10}(\mathrm{CCR}) = 4,3 - 3,27\,C - \frac{(\mathrm{Mn}+\mathrm{Cr}+\mathrm{Mo}+\mathrm{Ni})}{1,6},
onde cada símbolo é a porcentagem em peso do elemento. As composições dos aços A a G estão na tabela do enunciado.\n
Resumo do que vamos fazer: (i) ajustar uma relação do tipo potência entre diâmetro d e velocidade V linearizando por logaritmos; (ii) usar o ajuste para estimar a velocidade no centro para d=40\\ \mathrm{mm}; (iii) calcular a CCR de cada aço pela fórmula dada; (iv) comparar CCR com a velocidade disponível no centro para decidir quais aços servem (um aço serve se a velocidade disponível \ge CCR).

Passo 2

Por que linearizamos? Se V e d seguem uma relação potência d = K\,V^{\,\beta}, então tomando logaritmo base 10 obtemos uma reta:
\log_{10}(d) = \log_{10}(K) + \beta\,\log_{10}(V).
Isso é uma regressão linear do tipo y = A + Bx com y=\log_{10}(d), x=\log_{10}(V), A=\log_{10}(K) e B=\beta. Vou calcular x=\log_{10}(V) e y=\log_{10}(d) para os quatro pares dados e ajustar por mínimos quadrados (procedimento padrão para ajustar uma reta a pontos, que minimiza a soma dos quadrados dos erros verticais).\n
Cálculo dos logs (base 10) dos pontos dados:
\begin{array}{c|c|c} \text{Ponto} & x=\log_{10}(V) & y=\log_{10}(d)\\hline 1 & \log_{10}(0{,}17) = -0{,}769551 & \log_{10}(500)=2{,}69897\\[2pt] 2 & \log_{10}(2{,}5)=0{,}397940 & \log_{10}(100)=2{,}00000\\[2pt] 3 & \log_{10}(50)=1{,}69897 & \log_{10}(20)=1{,}30103\\[2pt] 4 & \log_{10}(667)\approx2{,}82391 & \log_{10}(5)=0{,}69897 \end{array}]

Passo 3

Agora calculamos a reta pelos mínimos quadrados. Primeiro as médias:
\bar{x} = 1{,}037817,\qquad \bar{y}=1{,}6747425.
Em seguida as somas necessárias:
S_{xx}=\sum (x_i-\bar{x})^2 \approx 7{,}302665,
S_{xy}=\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) \approx -4{,}048772.
A inclinação B e o intercepto A da reta são
B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \approx -0{,}5546,
A = \bar{y} - B\bar{x} \approx 2{,}25045.
Interpretação: A=\log_{10}(K) e B=\beta. Portanto a relação linearizada é
\log_{10}(d) \approx 2{,}25045 - 0{,}5546\,\log_{10}(V).

Passo 4

Voltemos à forma não linear (se preferir a constante K):
\log_{10}(d) = 2{,}25045 - 0{,}5546\,\log_{10}(V).
Isso é equivalente a
d = 10^{2{,}25045}\,V^{-0{,}5546}\approx 177{,}9\;V^{-0{,}5546}.
Ambas as formas são a mesma equação matemática; usamos a forma logarítmica pedida no enunciado. (A constante 10^{2{,}25045} foi calculada apenas para mostrar a forma potência.)

Passo 5

Estimando a velocidade de resfriamento no centro da barra de diâmetro d=40\\ \mathrm{mm}. Primeiro calculamos \log_{10}(d):
\log_{10}(40)=1{,}60206.
Invertendo a relação linearizada para obter \log_{10}(V):
\log_{10}(V) = \frac{\log_{10}(d)-A}{B} = \frac{1{,}60206-2{,}25045}{-0{,}5546}\approx 1{,}1696.
Portanto a velocidade disponível no centro é
V_{\text{disponível}} = 10^{1{,}1696} \approx 14{,}8\\ ^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{s}.í
Explicação rápida: isto significa que uma barra de 40\\ \mathrm{mm} resfriada em óleo tem, no centro, taxa de resfriamento aproximada de 14{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s} segundo a relação empiricamente ajustada aos dados fornecidos.

Passo 6

Agora calculamos a CCR de cada aço com a fórmula fornecida e comparamos com V_{\text{disponível}}=14{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}í. A lógica: para obter 100\% de martensita no centro é necessário que a velocidade de resfriamento real seja maior ou igual à CCR calculada; se V_{\text{disponível}}\ge \mathrm{CCR}í o aço serve.\n
Vou calcular \log_{10}(\mathrm{CCR}) e \mathrm{CCR}=10^{\log_{10}(\mathrm{CCR})} para cada aço. (Os cálculos numéricos usam as composições do enunciado; mostro valores intermediários.)
Aço A: C=0{,}30, \mathrm{Mn}+\mathrm{Cr}+\mathrm{Mo}+\mathrm{Ni}=2{,}80.
\log_{10}(\mathrm{CCR}_A)=4{,}3-3{,}27(0{,}30)-\frac{2{,}80}{1{,}6}=1{,}569.
\mathrm{CCR}_A=10^{1{,}569}\approx 37{,}1\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}\quad(\text{disponível }14{,}8<37{,}1\Rightarrow\text{não serve}).íã
Aço B: C=0{,}40, soma = 3{,}60.
\log_{10}(\mathrm{CCR}_B)=4{,}3-3{,}27(0{,}40)-\frac{3{,}60}{1{,}6}=0{,}742.
\mathrm{CCR}_B=10^{0{,}742}\approx 5{,}53\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}\quad(14{,}8\ge 5{,}53\Rightarrow\text{serve}).
Aço C: C=0{,}36, soma = 3{,}95.
\log_{10}(\mathrm{CCR}_C)=4{,}3-3{,}27(0{,}36)-\frac{3{,}95}{1{,}6}\approx0{,}65405.
\mathrm{CCR}_C\approx 10^{0{,}65405}\approx 4{,}51\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}\quad(14{,}8\ge 4{,}51\Rightarrow\text{serve}).
Aço D: C=0{,}40, soma = 3{,}45.
\log_{10}(\mathrm{CCR}_D)=4{,}3-3{,}27(0{,}40)-\frac{3{,}45}{1{,}6}\approx0{,}83575.
\mathrm{CCR}_D\approx 10^{0{,}83575}\approx 6{,}84\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}\quad(14{,}8\ge 6{,}84\Rightarrow\text{serve}).
Aço E: C=0{,}41, soma = 2{,}15.
\log_{10}(\mathrm{CCR}_E)=4{,}3-3{,}27(0{,}41)-\frac{2{,}15}{1{,}6}\approx1{,}61555.
\mathrm{CCR}_E\approx 10^{1{,}61555}\approx 41{,}3\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}\quad(14{,}8<41{,}3\Rightarrow\text{não serve}).ã
Aço F: C=0{,}40, soma = 2{,}50.
\log_{10}(\mathrm{CCR}_F)=4{,}3-3{,}27(0{,}40)-\frac{2{,}50}{1{,}6}\approx1{,}4295.
\mathrm{CCR}_F\approx 10^{1{,}4295}\approx 26{,}9\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}\quad(14{,}8<26{,}9\Rightarrow\text{não serve}).ã
Aço G: C=0{,}40, soma = 4{,}35.
\log_{10}(\mathrm{CCR}_G)=4{,}3-3{,}27(0{,}40)-\frac{4{,}35}{1{,}6}\approx0{,}27325.
\mathrm{CCR}_G\approx 10^{0{,}27325}\approx 1{,}88\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}\quad(14{,}8\ge 1{,}88\Rightarrow\text{serve}).

Passo 7

Conclusão (comparação direta): os aços que têm \mathrm{CCR}\le V_{\text{disponível}}í e portanto podem produzir 100\% de martensita no centro do eixo de 40\\ \mathrm{mm} resfriado em óleo são os aços:
B, C, D e G. (Aços A, E e F têm CCR maiores que a velocidade disponível e, portanto, não garantem martensita total no centro.)

Resposta

\displaystyle \log_{10}(d)\approx 2{,}25045-0{,}5546\,\log_{10}(V) (equivalente a d\approx177{,}9\,V^{-0{,}5546}).\n
Aços que podem ser usados: B, C, D, G.

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