Um eixo de diâmetro nominal de 100 mm deve ser endurecido pela austenitização seguido por têmpera em óleo. O centro da barra deve ter 100 \% de martensita. A Tabela abaixo fornece a taxa de resfriamento no centro de uma barra resfriada em óleo como função do diâmetro da barra.
Diâmetro da barra (\mathrm{mm}) Velocidade de Resfriamento \left({ }^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{s}\right)
500 0,17
100 2,5
20 50
5 667
Foi proposto fazer o eixo como um aço Cr -Ni-Mo. As velocidades de resfriamento para estes aços são dadas pela equação empírica:
\log _{10}\left(\mathrm{CCR},{ }^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{s}\right)=4,3-3,27 \mathrm{C}-((\mathrm{Mn}+\mathrm{Cr}+\mathrm{Mo}+\mathrm{Ni}) / 1,6)
onde o símbolo de cada elemento denota sua porcentagem em peso.
Aço Composição Química(%)
C Mn Cr Mo Ni
A 0,30 1,80 0,35 0,15 0,50
B 0,40 0,60 1,20 0,30 1,50
C 0,36 0,70 1,50 0,25 1,50
D 0,40 0,60 1,20 0,15 1,50
E 0,41 0,85 0,50 0,25 0,55
F 0,40 0,65 0,75 0,25 0,85
G 0,40 0,60 0,65 0,55 2,55
(a)Relacione \log (diâmetro do diâmetro da barra) em função \log (velocidade deresfriamento) e ache a equação matemática?
(b)Quais dos aços acima podem ser usados na fabricação desse eixo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) achar a relação entre \log (diâmetro da barra) e \log (velocidade de resfriamento) a partir dos quatro pontos experimentais da tabela de resfriamento em óleo;
  • (b) decidir quais dos aços A–G podem ser usados para fabricar um eixo de diâmetro nominal \,100\\ \mathrm{mm}\, de modo que o centro da barra tenha 100\% de martensita.
Informações relevantes dadas:
  • Dados experimentais (pegos da primeira tabela):
    • Diâmetro D (mm) e velocidade de resfriamento no centro \mathrm{CCR} ( {}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}):
      • D=500,\\ \mathrm{CCR}=0,17
      • D=100,\\ \mathrm{CCR}=2,5
      • D=20,\\ \mathrm{CCR}=50
      • D=5,\\ \mathrm{CCR}=667
    • Em particular, para D=100\\ \mathrm{mm} o resfriamento no centro é \mathrm{CCR}_{\text{óleo, }100}=2,5\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}ó (peguei esse valor da tabela).
  • Equação empírica que dá a taxa crítica de resfriamento (CCR crítica, mínima para obter martensita completa) para um aço em função da composição: \log_{10}(\mathrm{CCR}) = 4,3 - 3,27\,C - \frac{(\mathrm{Mn}+\mathrm{Cr}+\mathrm{Mo}+\mathrm{Ni})}{1,6},onde cada símbolo é a porcentagem em peso do elemento (por exemplo, C=0,40 significa 0{,}40\% de carbono).
  • Composições percentuais (peguei da segunda tabela) para os aços A–G.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Estratégia para (a): assumir uma lei de potência entre diâmetro e velocidade, do tipo
D = K\cdot \mathrm{CCR}^{\,b},
onde K e b são constantes. Tomando logaritmo decimal dos dois lados obtemos uma relação linear:
\log_{10}(D) = \log_{10}(K) + b\,\log_{10}(\mathrm{CCR}).
Isto é uma reta \,y = A + Bx com y=\log_{10}(D), x=\log_{10}(\mathrm{CCR}), A=\log_{10}(K) e B=b. Vou linearizar os quatro pontos calculando \log_{10}(\mathrm{CCR}) e \log_{10}(D) (base 10) e então ajustar por mínimos quadrados uma reta y=A+Bx.
Calculemos \log_{10} de cada ponto (uso notação \log_{10}(\cdot) e vírgula como separador decimal):
\begin{aligned} &D=500:\quad \log_{10}(D)=\log_{10}(500)=2,69897,\\\ &\qquad \mathrm{CCR}=0,17:\quad \log_{10}(\mathrm{CCR})=\log_{10}(0,17)=-0,76955.\\[4pt] &D=100:\quad \log_{10}(D)=2,00000,\\\ &\qquad \mathrm{CCR}=2,5:\quad \log_{10}(\mathrm{CCR})=0,39794.\\[4pt] &D=20:\quad \log_{10}(D)=1,30103,\\\ &\qquad \mathrm{CCR}=50:\quad \log_{10}(\mathrm{CCR})=1,69897.\\[4pt] &D=5:\quad \log_{10}(D)=0,69897,\\\ &\qquad \mathrm{CCR}=667:\quad \log_{10}(\mathrm{CCR})=2,82428. \end{aligned}]

Passo 3

Ajuste linear por mínimos quadrados: com n=4 pontos, definimos as somas necessárias:
\begin{aligned} &\sum x = \sum \log_{10}(\mathrm{CCR}) = -0,76955+0,39794+1,69897+2,82428 = 4,15164,\\\ &\sum y = \sum \log_{10}(D) = 2,69897+2,00000+1,30103+0,69897 = 6,69897,\\\ &\sum x^2 = 0,59222+0,15836+2,88650+7,97656 = 11,61364\quad(\text{valores individuais calculados acima}),\\\ &\sum xy = (-0,76955)(2,69897)+(0,39794)(2,00000)+(1,69897)(1,30103)+(2,82428)(0,69897) \\\ &\qquad\quad = -2,07604+0,79588+2,21041+1,97409 = 2,90434. \end{aligned}
Usamos as fórmulas do ajuste linear:
B = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2},\qquad A = \frac{\sum y - B\sum x}{n}.
Substituindo os números:
\begin{aligned} &B = \frac{4\cdot 2,90434 - 4,15164\cdot 6,69897}{4\cdot 11,61364 - (4,15164)^2} = \frac{11,61736 - 27,81171}{46,45456 - 17,23612} = -0,5544\\ (\text{aprox.}),\\[4pt] &A = \frac{6,69897 - (-0,5544)\cdot 4,15164}{4} = \frac{6,69897 +2,30200}{4} = 2,25024\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}
Portanto a relação linear em escala logarítmica é
\log_{10}(D) = 2,25024 - 0,5544\;\log_{10}(\mathrm{CCR}).
Voltando à forma de potência:
D = 10^{2,25024}\cdot \mathrm{CCR}^{-0,5544} \approx 177,8\;\mathrm{CCR}^{-0,5544},
ou seja, D (em mm) varia aproximadamente como uma potência negativa da velocidade de resfriamento no centro.
(Explicação curta sobre o método usado: linearizei a lei de potência com logaritmo base 10 para transformar em reta e ajustei por mínimos quadrados; isso é o procedimento padrão quando se quer ajustar uma relação do tipo y=Kx^b.)]

Passo 4

Interpretação prática para o item (b): para que o centro do eixo de diâmetro 100\\ \mathrm{mm} fique com 100\% de martensita é necessário que a velocidade de resfriamento efetiva no centro (a que o óleo fornece, \mathrm{CCR}_{\text{óleo, }100}=2,5\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}ó) seja maior ou igual à taxa crítica de resfriamento exigida pelo aço (CCR crítica dada pela fórmula empírica). Ou seja:
\text{o aço é adequado se }\mathrm{CCR}_{\text{crit}} \le \mathrm{CCR}_{\text{óleo, }100}=2,5.çéó
Procedimento: para cada aço A–G calculo \log_{10}(\mathrm{CCR}_{\text{crit}}) pela fórmula fornecida e obtenho \mathrm{CCR}_{\text{crit}}=10^{\log_{10}(\mathrm{CCR}_{\text{crit}})}. Se \mathrm{CCR}_{\text{crit}}\le 2,5 o aço é utilizável.

Passo 5

Calculemos \mathrm{CCR}_{\text{crit}} para cada aço (faço os somatórios \mathrm{Mn}+\mathrm{Cr}+\mathrm{Mo}+\mathrm{Ni}, aplico a fórmula e exponencio):
Aço A ( C=0,30;\\ \mathrm{Mn}=1,80;\\ \mathrm{Cr}=0,35;\\ \mathrm{Mo}=0,15;\\ \mathrm{Ni}=0,50):
\begin{aligned} &\mathrm{Mn}+\mathrm{Cr}+\mathrm{Mo}+\mathrm{Ni}=2,80,\\\ &\log_{10}(\mathrm{CCR})=4,3-3,27\cdot 0,30-\frac{2,80}{1,6}=4,3-0,981-1,75=1,569,\\\ &\mathrm{CCR}=10^{1,569}\approx 37,1\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}. \end{aligned}
Comparação: 37,1>2,5\Rightarrow A não serve.
Aço B ( C=0,40;\\ \mathrm{Mn}=0,60;\\ \mathrm{Cr}=1,20;\\ \mathrm{Mo}=0,30;\\ \mathrm{Ni}=1,50):
\begin{aligned} &\mathrm{Mn}+\mathrm{Cr}+\mathrm{Mo}+\mathrm{Ni}=3,60,\\\ &\log_{10}(\mathrm{CCR})=4,3-3,27\cdot 0,40-\frac{3,60}{1,6}=4,3-1,308-2,25=0,742,\\\ &\mathrm{CCR}=10^{0,742}\approx 5,53\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}. \end{aligned}
Comparação: 5,53>2,5\Rightarrow B não serve.
Aço C ( C=0,36;\\ \mathrm{Mn}=0,70;\\ \mathrm{Cr}=1,50;\\ \mathrm{Mo}=0,25;\\ \mathrm{Ni}=1,50):
\begin{aligned} &\mathrm{Mn}+\mathrm{Cr}+\mathrm{Mo}+\mathrm{Ni}=3,95,\\\ &\log_{10}(\mathrm{CCR})=4,3-3,27\cdot 0,36-\frac{3,95}{1,6}=4,3-1,1772-2,46875=0,65405,\\\ &\mathrm{CCR}=10^{0,65405}\approx 4,51\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}. \end{aligned}
Comparação: 4,51>2,5\Rightarrow C não serve.
Aço D ( C=0,40;\\ \mathrm{Mn}=0,60;\\ \mathrm{Cr}=1,20;\\ \mathrm{Mo}=0,15;\\ \mathrm{Ni}=1,50):
\begin{aligned} &\mathrm{Mn}+\mathrm{Cr}+\mathrm{Mo}+\mathrm{Ni}=3,45,\\\ &\log_{10}(\mathrm{CCR})=4,3-3,27\cdot 0,40-\frac{3,45}{1,6}=4,3-1,308-2,15625=0,83575,\\\ &\mathrm{CCR}=10^{0,83575}\approx 6,84\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}. \end{aligned}
Comparação: 6,84>2,5\Rightarrow D não serve.
Aço E ( C=0,41;\\ \mathrm{Mn}=0,85;\\ \mathrm{Cr}=0,50;\\ \mathrm{Mo}=0,25;\\ \mathrm{Ni}=0,55):
\begin{aligned} &\mathrm{Mn}+\mathrm{Cr}+\mathrm{Mo}+\mathrm{Ni}=2,15,\\\ &\log_{10}(\mathrm{CCR})=4,3-3,27\cdot 0,41-\frac{2,15}{1,6}=4,3-1,3407-1,34375=1,61555,\\\ &\mathrm{CCR}=10^{1,61555}\approx 41,3\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}. \end{aligned}
Comparação: 41,3>2,5\Rightarrow E não serve.
Aço F ( C=0,40;\\ \mathrm{Mn}=0,65;\\ \mathrm{Cr}=0,75;\\ \mathrm{Mo}=0,25;\\ \mathrm{Ni}=0,85):
\begin{aligned} &\mathrm{Mn}+\mathrm{Cr}+\mathrm{Mo}+\mathrm{Ni}=2,50,\\\ &\log_{10}(\mathrm{CCR})=4,3-3,27\cdot 0,40-\frac{2,50}{1,6}=4,3-1,308-1,5625=1,4295,\\\ &\mathrm{CCR}=10^{1,4295}\approx 26,9\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}. \end{aligned}
Comparação: 26,9>2,5\Rightarrow F não serve.
Aço G ( C=0,40;\\ \mathrm{Mn}=0,60;\\ \mathrm{Cr}=0,65;\\ \mathrm{Mo}=0,55;\\ \mathrm{Ni}=2,55):
\begin{aligned} &\mathrm{Mn}+\mathrm{Cr}+\mathrm{Mo}+\mathrm{Ni}=4,35,\\\ &\log_{10}(\mathrm{CCR})=4,3-3,27\cdot 0,40-\frac{4,35}{1,6}=4,3-1,308-2,71875=0,27325,\\\ &\mathrm{CCR}=10^{0,27325}\approx 1,88\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}. \end{aligned}
Comparação: 1,88\le 2,5\Rightarrow G serve.

Passo 6

Conclusão prática: entre os aços A–G, apenas o aço G tem taxa crítica de resfriamento menor ou igual à velocidade efetiva de resfriamento no centro para um eixo de 100\\ \mathrm{mm} resfriado em óleo; portanto somente o aço G permite obter 100\% de martensita no centro com a têmpera em óleo indicada.

Resposta

(a) \displaystyle \log_{10}(D)=2,25024-0,5544\;\log_{10}(\mathrm{CCR}), ou equivalentemente \displaystyle D\approx 177{,}8\;\mathrm{CCR}^{-0,5544}.
(b) Apenas o aço \mathrm{G} (somente G).

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