P5.3 Um eixo é feito de uma liga de alumínio com tensão de cisalhamento admissível \tau_{\text {adm }}=100 \mathrm{MPa}. Se o diâmetro do eixo é de 100 mm , determine o torque máximo \mathbf{T} que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo \mathbf{T}^{\prime} se um furo de 75 mm de diâmetro fosse feito através do eixo? Esboce a distribuição

Passo 1

O enunciado trata de torção de eixos circulares de alumínio, com tensão de cisalhamento admissível \tau_{\rm adm}=100\:\mathrm{MPa}. Primeiro vamos relembrar a fórmula que relaciona o torque máximo transmissível T com a tensão admissível:
T = \tau_{\rm adm}\,\frac{J}{c},
onde J é o momento polar de inércia da seção e c é o raio externo.

Passo 2

Para um eixo maciço de diâmetro d vale
J = \frac{\pi\,d^4}{32}, \quad c = \frac{d}{2}.
Logo,
\frac{J}{c} = \frac{\pi\,d^4/32}{d/2} = \frac{\pi\,d^3}{16},
e portanto
T = \tau_{\rm adm}\,\frac{\pi\,d^3}{16}.

Passo 3

No caso sólido temos d=100\:\mathrm{mm}=0{,}1\:\mathrm{m}. Substituindo:
T = 100\times10^6\:\frac{\mathrm{N}}{\mathrm m^2}\;\frac{\pi\,(0{,}1\:\mathrm m)^3}{16} =100\times10^6\;\frac{\pi\cdot10^{-3}}{16} \approx1{,}9635\times10^4\:\mathrm{N\cdot m}.
Em unidades correntes:
T \approx 19{,}6\:\mathrm{kN\cdot m}.

Passo 4

Para o eixo com furo interno de diâmetro d_i=75\:\mathrm{mm} e diâmetro externo d=100\:\mathrm{mm}, temos
J' = \frac{\pi}{32}\bigl(d^4 - d_i^4\bigr), \quad c = \frac{d}{2}.
Logo
\frac{J'}{c} = \frac{\pi\,(d^4 - d_i^4)/32}{d/2} = \frac{\pi\,(d^4-d_i^4)}{16\,d} = \frac{\pi\,(d^3 - d_i^4/d)}{16}.
E
T' = \tau_{\rm adm}\,\frac{J'}{c}.

Passo 5

Calculando numericamente em mm (convertendo para N\cdot mm e depois para N\cdot m): d^4 - d_i^4 = 100^4 - 75^4 =10^8 -3{,}1640625\times10^7 =6{,}8359375\times10^7\:\mathrm{mm^4}.
J' = \frac{\pi}{32}\,6{,}8359375\times10^7 \approx6{,}716\times10^6\:\mathrm{mm^4}, \quad c=50\:\mathrm{mm},
\frac{J'}{c}\approx \frac{6{,}716\times10^6}{50}=1{,}343125\times10^5\:\mathrm{mm^3},
T' = 100\:\frac{\mathrm N}{\mathrm{mm^2}} \times1{,}343125\times10^5\:\mathrm{mm^3} =1{,}343125\times10^7\:\mathrm{N\cdot mm} \approx1{,}343\times10^4\:\mathrm{N\cdot m}.
Em unidades usuais:
T' \approx 13{,}4\:\mathrm{kN\cdot m}.

Passo 6

Distribuição de tensão cisalhante \tau(r) na seção transversal:
  • Eixo maciço: \tau(r)=\dfrac{T\,r}{J}, cresce linear de zero r=0 até \tau_{\max}=\tau_{\rm adm} em r=c.
  • Eixo furado: \tau(r)=0 para r\le r_i (buraco), e para r_i<r\le r_o
\tau(r)=\frac{T'\,r}{J'},
cresce linear de zero em r_i até \tau_{\max}=\tau_{\rm adm} em r_o.

Resposta

Tensão admissível \tau_{\rm adm}=100\:\mathrm{MPa}.
Para eixo sólido de d=100\:\mathrm{mm}:
T \approx 19{,}6\:\mathrm{kN\cdot m}.
Para eixo com furo de d_i=75\:\mathrm{mm}:
T' \approx 13{,}4\:\mathrm{kN\cdot m}.

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