Resolva as 3 integrais:
\int_{\pi}^{2 \pi} \tan (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi}^{2\pi} \tan(5x)\,dx.
O conteúdo utilizado será a integral de \tan u e a substituição linear u=5x.

Passo 2

Primeiro achamos a primitiva de \tan(5x). Faça a substituição
u = 5x,\quad du = 5\,dx\quad\Longrightarrow\quad dx = \tfrac{1}{5}\,du.
Então
\int \tan(5x)\,dx = \int \tan(u)\,\frac{1}{5}\,du = \tfrac{1}{5}\int \tan(u)\,du.
Sabemos que
\int \tan(u)\,du = -\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.
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\int \tan(5x)\,dx = -\tfrac{1}{5}\,\ln\bigl|\cos(5x)\bigr| + C.

Passo 3

Agora avaliamos de x=\pi até x=2\pi. Seja
F(x) = -\tfrac{1}{5}\,\ln\bigl|\cos(5x)\bigr|.
Então a integral definida é
F(2\pi) - F(\pi) = -\tfrac{1}{5}\Bigl[\ln\bigl|\cos(10\pi)\bigr| - \ln\bigl|\cos(5\pi)\bigr|\Bigr].
Como \cos(10\pi)=1 e \cos(5\pi)=-1, temos \bigl|\cos(10\pi)\bigr|=\bigl|\cos(5\pi)\bigr|=1 e, portanto,
\ln(1)=0.

Resposta

0

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