(7) O eixo da hélice do hidrofólio é de aço \mathrm{A}-36(\mathrm{G}=75 \mathrm{GPa}) e tem 30 m de comprimento. Está acoplado a um motor diesel em linha, o qual transmite uma potência máxima de 2.000 kW e provoca rotação de 1.700 rpm no eixo. Se o diâmetro externo do eixo for 200 mm e a espessura da parede for 10 mm , determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo. Determine também o ângulo de torção no eixo à potência total.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo.
  • Determinar o ângulo de torção no eixo quando o motor entrega a potência total.
Os dados fornecidos pelo enunciado (peguei estes valores do enunciado e da imagem) são:
  • Potência P = 2{.}000\\ \text{kW}.
  • Velocidade de rotação n = 1{.}700\\ \text{rpm}.
  • Comprimento do eixo L = 30\\ \text{m}.
  • Diâmetro externo do eixo d_o = 200\\ \text{mm}.
  • Espessura da parede t = 10\\ \text{mm}.
  • Material: aço A-36 com módulo de cisalhamento G = 75\\ \text{GPa}.
O que ainda preciso identificar antes de calcular:
  • O diâmetro interno do eixo (vem da geometria: d_i = d_o - 2t).
  • Converter unidades (mm → m, kW → W, rpm → rad/s).

Passo 2

Primeiro converto a velocidade de rotação de \text{rpm} para velocidade angular \omega em \text{rad/s}. A fórmula é:
\omega = \frac{2\pi n}{60}
Substituindo n=1700\\ \text{rpm},
\omega = \frac{2\pi\cdot1700}{60}=\frac{170\pi}{3}\\ \text{rad/s}\approx 178{,}0236\\ \text{rad/s}.
Explicação didática: \omega é a velocidade angular — quantos radianos por segundo o eixo gira. Para converter rpm (rotações por minuto) para rad/s multiplicamos por 2\pi (radianos por rotação) e dividimos por 60 (segundos por minuto).

Passo 3

Com \omega posso obter o torque T transmitido pelo eixo a partir da potência. A relação entre potência, torque e velocidade angular é:
P = T\,\omega \quad\Rightarrow\quad T=\frac{P}{\omega}.
Agora converto a potência: P = 2{.}000\\ \text{kW} = 2{.}000\times10^{3}\\ \text{W} = 2{.}000{.}000\\ \text{W}.
Logo,
T = \frac{2{.}000{.}000}{178{,}0236}\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx 11.235{,}7\\ \text{kN}\cdot\text{m}=11.235{,}7\\ \times 10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Explicação didática: potência é trabalho por tempo; num eixo girante o “trabalho por tempo” é o torque vezes a velocidade angular.

Passo 4

Agora trato a geometria do eixo (é um eixo oco, seção circular anular). Primeiro calculo o diâmetro interno e os raios:
d_i = d_o - 2t = 200\\ \text{mm} - 2\cdot10\\ \text{mm} = 180\\ \text{mm}.
Em metros:
r_o = \frac{d_o}{2} = \frac{200\\ \text{mm}}{2}=100\\ \text{mm}=0{,}100\\ \text{m}, \qquad r_i = \frac{d_i}{2} = \frac{180\\ \text{mm}}{2}=90\\ \text{mm}=0{,}090\\ \text{m}.
Explicação didática: para um eixo oco, o momento polar de inércia (também chamado de momento polar J) é a grandeza geométrica que aparece nas fórmulas de torção e tensão por cisalhamento.
A fórmula do momento polar para uma seção circular oca é:
J = \frac{\pi}{2}\left(r_o^{4}-r_i^{4}\right).
Essa fórmula vem do cálculo do momento de inércia polar para um disco menos o disco interno.

Passo 5

Calculo numericamente J. Primeiro as potências:
r_o^{4} = (0{,}100)^{4}=1{,}0\times10^{-4}=0{,}00010, \qquad r_i^{4} = (0{,}090)^{4}=0{,}00006561.
Logo
J = \frac{\pi}{2}\left(0{,}00010 - 0{,}00006561\right) = \frac{\pi}{2}\cdot 0{,}00003439 \approx 5{,}4017\times10^{-5}\\ \text{m}^{4}.

Passo 6

Agora obtenho a tensão de cisalhamento máxima. Para um eixo circular oco submetido a torque T, a tensão de cisalhamento máxima na superfície externa é dada por
\tau_{\max} = \frac{T\,r_o}{J}.
Substituindo os valores (usar T em N·m, r_o em m, J em m^4):
\tau_{\max} = \frac{11.235{,}7\times10^{3}\cdot 0{,}100}{5{,}4017\times10^{-5}}\\ \text{Pa} \approx 2{,}08\times10^{7}\\ \text{Pa}.
Convertendo para MPa:
\tau_{\max}\approx 20{,}8\\ \text{MPa}.
Explicação didática: a fórmula \tau = Tr/J diz que a tensão por cisalhamento cresce linearmente com o raio (do centro até a superfície) e é máxima na superfície externa. O momento polar J faz “diluir” a tensão: maior J ⇒ menor tensão para o mesmo torque.

Passo 7

Agora calculo o ângulo de torção \varphi (ângulo de giro ao longo do comprimento L). Para um eixo homogêneo e com torque constante, a fórmula é
\varphi = \frac{T\,L}{G\,J}.
Substituo T, L=30\\ \text{m}, G=75\\ \text{GPa}=75\times10^{9}\\ \text{Pa} e J:
\varphi = \frac{11.235{,}7\times10^{3}\cdot 30}{75\times10^{9}\cdot 5{,}4017\times10^{-5}}\\ \text{rad} \approx 0{,}0832\\ \text{rad}.
Convertendo para graus (multiplicar por 180/\pi):
\varphi \approx 0{,}0832\\ \text{rad}\approx 4{,}77^\circ.
Explicação didática: \varphi cresce com o torque T e o comprimento L (mais comprimento → mais torção) e diminui com G e J (material mais rígido e seção mais resistente reduzem a torção).

Passo 8

Resumo numérico e verificação rápida de ordem de grandeza:
  • Tensão por cisalhamento \sim 20{,}8\\ \text{MPa} — muito menor que os limites típicos de escoamento do aço (logo o eixo está longe da rotura por cisalhamento para essa potência), mas em projeto real verificar fadiga, concentradores de tensão e fatores de segurança.
  • Ângulo de torção \sim 0{,}0832\\ \text{rad} (≈ 4{,}77^\circ) ao longo de 30 m — é um giro perceptível; em aplicações reais pode ser necessário limitar torção relativa entre componentes ou usar acoplamentos apropriados.

Resposta

Tensão de cisalhamento máxima: 20{,}8\\ \text{MPa}
Ângulo de torção (comprimento total 30\\ \text{m}): 0{,}0832\\ \text{rad}\\ (\approx 4{,}77^\circ)

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