(7) O eixo da hélice do hidrofólio é de aço
e tem 30 m de comprimento. Está acoplado a um motor diesel em linha, o qual transmite uma potência máxima de 2.000 kW e provoca rotação de 1.700 rpm no eixo. Se o diâmetro externo do eixo for 200 mm e a espessura da parede for 10 mm , determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo. Determine também o ângulo de torção no eixo à potência total.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo.
- Determinar o ângulo de torção no eixo quando o motor entrega a potência total.
Os dados fornecidos pelo enunciado (peguei estes valores do enunciado e da imagem) são:
- Potência
. - Velocidade de rotação
. - Comprimento do eixo
. - Diâmetro externo do eixo
. - Espessura da parede
. - Material: aço A-36 com módulo de cisalhamento
.
O que ainda preciso identificar antes de calcular:
- O diâmetro interno do eixo (vem da geometria:
). - Converter unidades (mm → m, kW → W, rpm → rad/s).
Passo 2
Primeiro converto a velocidade de rotação de
para velocidade angular
em
. A fórmula é:
Substituindo
,
Explicação didática:
é a velocidade angular — quantos radianos por segundo o eixo gira. Para converter rpm (rotações por minuto) para rad/s multiplicamos por
(radianos por rotação) e dividimos por
(segundos por minuto).
Passo 3
Com
posso obter o torque
transmitido pelo eixo a partir da potência. A relação entre potência, torque e velocidade angular é:
Agora converto a potência:
.
Logo,
Logo,
Explicação didática: potência é trabalho por tempo; num eixo girante o “trabalho por tempo” é o torque vezes a velocidade angular.
Passo 4
Agora trato a geometria do eixo (é um eixo oco, seção circular anular). Primeiro calculo o diâmetro interno e os raios:
Em metros:
Explicação didática: para um eixo oco, o momento polar de inércia (também chamado de momento polar
) é a grandeza geométrica que aparece nas fórmulas de torção e tensão por cisalhamento.
A fórmula do momento polar para uma seção circular oca é:
Essa fórmula vem do cálculo do momento de inércia polar para um disco menos o disco interno.
Passo 5
Calculo numericamente
. Primeiro as potências:
Logo
Passo 6
Agora obtenho a tensão de cisalhamento máxima. Para um eixo circular oco submetido a torque
, a tensão de cisalhamento máxima na superfície externa é dada por
Substituindo os valores (usar
em N·m,
em m,
em m^4):
Convertendo para MPa:
Explicação didática: a fórmula
diz que a tensão por cisalhamento cresce linearmente com o raio (do centro até a superfície) e é máxima na superfície externa. O momento polar
faz “diluir” a tensão: maior
⇒ menor tensão para o mesmo torque.
Passo 7
Agora calculo o ângulo de torção
(ângulo de giro ao longo do comprimento
). Para um eixo homogêneo e com torque constante, a fórmula é
Substituo
,
,
e
:
Convertendo para graus (multiplicar por
):
Explicação didática:
cresce com o torque
e o comprimento
(mais comprimento → mais torção) e diminui com
e
(material mais rígido e seção mais resistente reduzem a torção).
Passo 8
Resumo numérico e verificação rápida de ordem de grandeza:
- Tensão por cisalhamento
— muito menor que os limites típicos de escoamento do aço (logo o eixo está longe da rotura por cisalhamento para essa potência), mas em projeto real verificar fadiga, concentradores de tensão e fatores de segurança. - Ângulo de torção
(≈ ) ao longo de 30 m — é um giro perceptível; em aplicações reais pode ser necessário limitar torção relativa entre componentes ou usar acoplamentos apropriados.
Resposta
Tensão de cisalhamento máxima:
Ângulo de torção (comprimento total ):
Ângulo de torção (comprimento total