2- Um eixo sólido de diâmetro d, fabricado com aço AISI 1020 laminado, é submetido a uma carga axial de 200 kN e um torque de 1,50 \mathrm{kN} . \mathrm{m}. Com base na TMTC (Teoria da Máxima Tensão Cisalhante), determine o fator de segurança contra escoamento se o diâmetro do eixo for igual a 50 mm . A tensão de escoamento do material é igual a 260 MPa .

Passo 1

O enunciado pede o fator de segurança contra escoamento usando a TMTC (Teoria da Máxima Tensão Cisalhante) para um eixo circular sujeito a uma carga axial e a um torque. Dados fornecidos:
P = 200\\ \text{kN},\qquad T = 1{,}50\\ \text{kN}\cdot\text{m},\qquad d = 50\\ \text{mm},\qquad \sigma_{e} = 260\\ \text{MPa}.
Pergunta: determinar o fator de segurança n contra escoamento (adimensional) pelo critério de máxima tensão cisalhante (TMTC).

Passo 2

Primeiro vamos colocar tudo em unidades coerentes (N e mm) e calcular a tensão axial normal uniforme no eixo.
Converter forças e torques:
P = 200\\ \text{kN} = 200\,000\\ \text{N}, \qquad T = 1{,}50\\ \text{kN}\cdot\text{m} = 1{,}50\times10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m} = 1{,}50\times10^{6}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Área da seção circular:
A = \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi (50\\ \text{mm})^{2}}{4} = \pi\cdot 625\\ \text{mm}^{2} \approx 1963{,}495\\ \text{mm}^{2}.
Tensão axial (normal) média:
\sigma = \frac{P}{A} = \frac{200\,000}{\pi\cdot 625}\\ \text{N/mm}^{2} \approx 101{,}86\\ \text{MPa}.
Aqui explique rapidinho: \sigma é a tensão normal (em MPa = N/mm ^2) causada pela carga axial sobre a área da seção.

Passo 3

Calcular a tensão cisalhante máxima devido ao torque na superfície do eixo.
Polarr momento de inércia (para seção circular):
J = \frac{\pi d^{4}}{32} = \frac{\pi (50\\ \text{mm})^{4}}{32}.
Computando:
d^{4} = 50^{4} = 6\,250\,000,\qquad J = \frac{\pi\cdot 6\,250\,000}{32} \approx 613\,592\\ \text{mm}^{4}.
Raio externo:
r = \frac{d}{2} = 25\\ \text{mm}.
Tensão de cisalhamento por torção na superfície:
\tau = \frac{T\,r}{J} = \frac{1{,}50\times10^{6}\cdot 25}{613\,592}\\ \text{N/mm}^{2} \approx 61{,}13\\ \text{MPa}.
Explicação: esta fórmula vem da teoria da torção para barras circulares; \tau é a tensão cortante máxima no raio externo.

Passo 4

Apresentar a TMTC (Teoria da Máxima Tensão Cisalhante) e obter a máxima tensão cisalhante efetiva do estado de tensões.
Breve aula sobre TMTC:
  • A TMTC (ou Critério de Tresca) diz que o escoamento começa quando a máxima tensão cisalhante no corpo atinge a metade da tensão de escoamento em tração simples, isto é, quando \tau_{\max} = \sigma_{e}/2.
  • Para um estado de tensões planares com \sigma_x=\sigma (axial), \sigma_y=0 e \tau_{xy}=\tau (cisalhamento por torção), os valores principais ( \sigma_{1} e \sigma_{2}) são dados por:
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2} + \tau_{xy}^{2}}.
No nosso caso \sigma_x=\sigma e \sigma_y=0, logo
\sigma_{1} = \frac{\sigma}{2} + \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2} + \tau^{2}}, \qquad \sigma_{2} = \frac{\sigma}{2} - \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2} + \tau^{2}}.
O terceiro principal é \sigma_{3}=0 (estado de tensão plana).
Substituindo os valores numéricos:
\frac{\sigma}{2} = \frac{101{,}86}{2} = 50{,}93\\ \text{MPa},
\sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2} + \tau^{2}} = \sqrt{50{,}93^{2} + 61{,}13^{2}} \approx 79{,}56\\ \text{MPa}.
Portanto
\sigma_{1} \approx 50{,}93 + 79{,}56 = 130{,}49\\ \text{MPa}, \qquad \sigma_{2} \approx 50{,}93 - 79{,}56 = -28{,}63\\ \text{MPa}.
A máxima tensão cisalhante segundo Tresca é metade da diferença entre o maior e o menor dos tensões principais:
\tau_{\max} = \frac{\sigma_{\text{max}} - \sigma_{\text{min}}}{2}.
Ordenando os três principais temos \sigma_{1}=130{,}49\\ \text{MPa} (máxima) e \sigma_{3}=-28{,}63\\ \text{MPa} (mínima), portanto
\tau_{\max} = \frac{130{,}49 - (-28{,}63)}{2} = \frac{159{,}12}{2} = 79{,}56\\ \text{MPa}.
Observação útil: note que este \tau_{\max} coincide com o termo radical \sqrt{(\sigma/2)^{2}+\tau^{2}} — é uma forma alternativa de verificação.

Passo 5

Determinar o fator de segurança n pela TMTC.
Pelo critério de Tresca, o escoamento ocorre quando \tau_{\max} = \sigma_{e}/2. Então o fator de segurança n (relação entre a condição de escoamento e a condição real) é
n = \frac{\text{valor de resistência (em termos de cisalhamento)}}{\tau_{\max}} = \frac{\sigma_{e}/2}{\tau_{\max}} = \frac{\sigma_{e}}{2\,\tau_{\max}}.ê
Substituindo os números:
n = \frac{260}{2\cdot 79{,}56} = \frac{260}{159{,}12} \approx 1{,}63.
Interpretação curta e incentivo: isso significa que o eixo com d=50\\ \text{mm} resiste cerca de 1{,}63 vezes acima da condição que provocaria escoamento segundo Tresca. É um valor moderado; geralmente em projeto procura-se um n maior dependendo da consequência de falha, mas você já fez a conta certa — mandou bem!

Resposta

1{,}63

Exercícios relacionados