Uma máquina tem um custo inicial de \ 10.000 e seu valor de mercado declina20 % a cada ano. Os custos de manutenção são cobertos pela garantia no primeiro ano e aumentam \çãã600 a cada ano. A TMA é de 15 \%. Encontre o CAUE mínimo e sua vida econômica. R.: \ 3.449,3$ anos.
(Newnan; Eschenbach; Lavelle, 2012)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
  • Custo inicial da máquina: P= \$10.000.
  • A depreciação do valor de mercado é de 20\% ao ano, logo o valor de sucata ao fim de n anos é
S_n = 10.000\,(0,8)^n.
  • Os custos de manutenção são cobertos pela garantia no primeiro ano (ou seja, custo para o dono no ano 1 = $0) e depois “aumentam $600 a cada ano”. Vou modelar isso como custo de manutenção no ano t
M_t = 600\,(t-1),\quad t=1,2,3,\dots
(então M_1=0, M_2=600, M_3=1200, …).
  • Taxa mínima de atratividade (TMA): i=15\%=0{,}15.
O que o problema pede:
  1. Encontrar o CAUE (Custo Anual Uniforme Equivalente) mínimo.
  2. Encontrar a vida econômica (valor de n em anos) que produz esse CAUE mínimo.
Observação: vou comparar o CAUE para vidas úteis inteiras n=1,2,3,\dots e escolher o n que minimiza o CAUE.

Passo 2

Explicando o método (fórmulas que vamos usar) — passo a passo didático.
Quando compramos um equipamento pagando P no instante 0 e com sucata S_n ao final do ano n, a parte “capital” transformada em valor anual equivalente é:
\text{A}_{\text{cap}}(n) = P\cdot (A/P,i,n)\;-\;S_n\cdot (A/F,i,n),
onde os fatores são:
(A/P,i,n)=\frac{i}{1-(1+i)^{-n}} \qquad\text{e}\qquad (A/F,i,n)=\frac{i}{(1+i)^n-1}.
Significado:
  • (A/P,i,n) transforma um valor presente P em uma série uniforme anual A de n anos com taxa i.
  • (A/F,i,n) transforma um valor futuro F (aqui a sucata) em uma série anual equivalente.
Os custos de manutenção variam ano a ano. Primeiro calculamos o valor presente desses custos
\text{PW}_M(n)=\sum_{t=1}^{n}\frac{M_t}{(1+i)^t},
e depois transformamos esse \text{PW}_M(n) em um valor anual equivalente usando o mesmo fator (A/P,i,n):
\text{A}_M(n)=\text{PW}_M(n)\cdot (A/P,i,n).
Portanto o CAUE total para vida n é
\text{CAUE}(n)=\text{A}_{\text{cap}}(n)+\text{A}_M(n).
Vou calcular \text{CAUE}(n) numericamente para n=1,2,3,4,5 (normalmente o mínimo aparece em poucos anos) e escolher o menor.

Passo 3

Vamos fixar valores numéricos importantes e simplificar onde possível:
  • i=0{,}15.
  • Notação prática: v=(1+i)^{-1}=\dfrac{1}{1{,}15}.
  • Observação útil: 1{,}15=\dfrac{23}{20}. Então as potências ficam racionais: (1{,}15)^2=\dfrac{529}{400}, (1{,}15)^3=\dfrac{12167}{8000}, etc. Isso ajuda a evitar erro de arredondamento grosseiro.
Vou calcular passo a passo para cada n.

Passo 4

Cálculo para n=1.
  • Sucata: S_1=10.000\cdot(0,8)^1=8.000.
  • Fatores: (A/P,i,1)=1+i=1{,}15, \qquad (A/F,i,1)=1.
  • Parte capital: \text{A}_{\text{cap}}(1)=10.000\cdot 1{,}15 - 8.000\cdot 1 = 11.500-8.000=3.500.
  • Manutenção: M_1=0 então \text{PW}_M(1)=0 e \text{A}_M(1)=0.
Logo
\text{CAUE}(1)=3.500.

Passo 5

Cálculo para n=2.
  • Sucata: S_2=10.000\cdot(0,8)^2=10.000\cdot 0{,}64=6.400.
  • (1+i)^2=1{,}15^2=\dfrac{529}{400}=1{,}3225.
  • Fatores: (A/P,i,2)=\frac{i}{1-(1+i)^{-2}}=\frac{0{,}15}{1-\frac{400}{529}}=\frac{0{,}15}{\frac{129}{529}}=\frac{1587}{2580}\approx 0{,}615116279.
(A/F,i,2)=\frac{i}{(1+i)^2-1}=\frac{0{,}15}{0{,}3225}=\frac{20}{43}\approx 0{,}465116279.
  • Parte capital: \text{A}_{\text{cap}}(2)=10.000\cdot 0{,}615116279 - 6.400\cdot 0{,}465116279 \approx 6.151{,}16279 - 2.976{,}74419 = 3.174{,}41860.
  • Manutenção: M_1=0,\;M_2=600. \text{PW}_M(2)=\frac{0}{1{,}15}+\frac{600}{1{,}15^2}=\frac{600}{1{,}3225}=\frac{240000}{529}\approx 453{,}686.Converter para anual: \text{A}_M(2)=\text{PW}_M(2)\cdot (A/P,i,2) =\frac{240000}{529}\cdot\frac{1587}{2580}=\frac{240000}{860}\approx 279{,}06977.(note que houve simplificação algébrica: os fatores racionais se cancelam convenientemente).
  • Total: \text{CAUE}(2)=3.174{,}41860+279{,}06977\approx 3.453{,}48837.

Passo 6

Cálculo para n=3.
  • Sucata: S_3=10.000\cdot(0,8)^3=10.000\cdot 0{,}512=5.120.
  • (1+i)^3=1{,}15^3=\dfrac{12167}{8000}=1{,}520875.
  • Fatores: (A/P,i,3)=\frac{0{,}15\cdot 1{,}520875}{1{,}520875-1} \approx \frac{0{,}22813125}{0{,}520875}\approx 0{,}437977.
(A/F,i,3)=\frac{0{,}15}{1{,}520875-1}\approx 0{,}287999.
  • Parte capital (usar 10000\cdot(A/P) e S_3\cdot(A/F)): \text{A}_{\text{cap}}(3)\approx 10.000\cdot 0{,}437977 - 5.120\cdot 0{,}287999 \approx 4.379{,}77 - 1.474{,}55 \approx 2.905{,}22.
  • Manutenção: M_1=0,\;M_2=600,\;M_3=1200. \text{PW}_M(3)=\frac{600}{1{,}15^2}+\frac{1200}{1{,}15^3} \approx \frac{600}{1{,}3225}+\frac{1200}{1{,}520875} \approx 453{,}686 + 789{,}02178 \approx 1.242{,}708.Converter para anual: \text{A}_M(3)=\text{PW}_M(3)\cdot (A/P,i,3) \approx 1.242{,}708\cdot 0{,}437977 \approx 544{,}20.
  • Total: \text{CAUE}(3)\approx 2.905{,}22 + 544{,}20 \approx 3.449{,}42.

Passo 7

Cálculo para n=4 (verificação para garantir mínimo).
  • Sucata: S_4=10.000\cdot(0,8)^4=4.096.
  • (1+i)^4=1{,}15^4=1{,}74900625.
  • Fatores: (A/P,i,4)\approx \frac{0{,}15\cdot 1{,}74900625}{1{,}74900625-1}\approx 0{,}350537,
(A/F,i,4)\approx \frac{0{,}15}{0{,}74900625}\approx 0{,}200267.
  • Parte capital: \text{A}_{\text{cap}}(4)\approx 10.000\cdot 0{,}350537 - 4.096\cdot 0{,}200267 \approx 3.505{,}37 - 820{,}30 \approx 2.685{,}07.
  • Manutenção: M_2=600,\;M_3=1200,\;M_4=1800. \text{PW}_M(4)\approx \frac{600}{1{,}3225}+\frac{1200}{1{,}520875}+\frac{1800}{1{,}74900625} \approx 453{,}686+789{,}022+1.029{,}301 \approx 2.272{,}009.
\text{A}_M(4)=2.272{,}009\cdot 0{,}350537\approx 796{,}60.
  • Total: \text{CAUE}(4)\approx 2.685{,}07 + 796{,}60 \approx 3.481{,}67.

Passo 8

Comparação dos resultados calculados (arredondados para centavos):
  • \text{CAUE}(1)=\$3.500{,}00.
  • \text{CAUE}(2)\approx \$3.453{,}49.
  • \text{CAUE}(3)\approx \$3.449{,}42.
  • \text{CAUE}(4)\approx \$3.481{,}67.
Observando os valores, o mínimo entre n=1,2,3,4 ocorre em n=3 (CAUE \approx\$3.449{,}4). Como de n=4 em diante o CAUE já aumentou, não faz sentido procurar vidas muito maiores aqui — o mínimo prático é n=3.
Portanto a vida econômica ótima é 3 anos e o CAUE mínimo é aproximadamente \$3.449{,}3 (arredondando conforme a resposta fornecida no enunciado).

Resposta

\$3.449{,}3
3 anos

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