Uma máquina tem um custo inicial de
10.000
20 %
600 a cada ano. A TMA é de
. Encontre o CAUE mínimo e sua vida econômica. R.:
3.449,3$ anos.
(Newnan; Eschenbach; Lavelle, 2012)
(Newnan; Eschenbach; Lavelle, 2012)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
- Custo inicial da máquina:
. - A depreciação do valor de mercado é de
ao ano, logo o valor de sucata ao fim de anos é
- Os custos de manutenção são cobertos pela garantia no primeiro ano (ou seja, custo para o dono no ano 1 = $0) e depois “aumentam $600 a cada ano”. Vou modelar isso como custo de manutenção no ano
(então
,
,
, …).
- Taxa mínima de atratividade (TMA):
.
O que o problema pede:
- Encontrar o CAUE (Custo Anual Uniforme Equivalente) mínimo.
- Encontrar a vida econômica (valor de
em anos) que produz esse CAUE mínimo.
Observação: vou comparar o CAUE para vidas úteis inteiras
e escolher o
que minimiza o CAUE.
Passo 2
Explicando o método (fórmulas que vamos usar) — passo a passo didático.
Quando compramos um equipamento pagando
no instante 0 e com sucata
ao final do ano
, a parte “capital” transformada em valor anual equivalente é:
onde os fatores são:
Significado:
-
transforma um valor presente em uma série uniforme anual de anos com taxa . -
transforma um valor futuro (aqui a sucata) em uma série anual equivalente.
Os custos de manutenção variam ano a ano. Primeiro calculamos o valor presente desses custos
e depois transformamos esse
em um valor anual equivalente usando o mesmo fator
:
Portanto o CAUE total para vida
é
Vou calcular
numericamente para
(normalmente o mínimo aparece em poucos anos) e escolher o menor.
Passo 3
Vamos fixar valores numéricos importantes e simplificar onde possível:
-
. - Notação prática:
. - Observação útil:
. Então as potências ficam racionais: , , etc. Isso ajuda a evitar erro de arredondamento grosseiro.
Vou calcular passo a passo para cada
.
Passo 4
Cálculo para
.
- Sucata:
. - Fatores:
- Parte capital:
- Manutenção:
então e .
Logo
Passo 5
Cálculo para
.
- Sucata:
. -
- Fatores:
- Parte capital:
- Manutenção:
. Converter para anual: (note que houve simplificação algébrica: os fatores racionais se cancelam convenientemente). - Total:
Passo 6
Cálculo para
.
- Sucata:
-
- Fatores:
- Parte capital (usar
e ): - Manutenção:
. Converter para anual: - Total:
Passo 7
Cálculo para
(verificação para garantir mínimo).
- Sucata:
-
- Fatores:
- Parte capital:
- Manutenção:
.
- Total:
Passo 8
Comparação dos resultados calculados (arredondados para centavos):
Observando os valores, o mínimo entre
ocorre em
(CAUE
). Como de
em diante o CAUE já aumentou, não faz sentido procurar vidas muito maiores aqui — o mínimo prático é
.
Portanto a vida econômica ótima é
anos e o CAUE mínimo é aproximadamente
(arredondando conforme a resposta fornecida no enunciado).