Aceitando esse resultado, podemos relacionar S com \pi por
S=\frac{\pi^{3}}{32}.
Passo 3
Isolando \pi na relação anterior obtemos a fórmula prática que usaremos numericamente:
\pi=\bigl(32\,S\bigr)^{1/3}.
Na prática numericamente não somamos infinitos termos: calculamos a soma parcial
S_N=\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}
e usamos a aproximação
\pi\approx \bigl(32\,S_N\bigr)^{1/3}.
Passo 4
Como controlar o erro? A série é alternada e seus termos em módulo são decrescentes para k\ge0 e tendem a zero, então vale o critério do resto da série alternada (criterio de Leibniz): o erro ao truncar após N é menor que o próximo termo em módulo. Ou seja, se definirmos o termo de ordem k por
Como a fórmula final para \pi envolve a raiz cúbica de 32S, uma forma prática e segura de parar a soma é: calcular a estimativa de \pi a cada passo e parar quando a diferença entre duas estimativas consecutivas for menor que uma tolerância desejada \varepsilon. Este critério é simples e direto de implementar.
Passo 5
Estratégia do programa (passo a passo):
Inicializar S com 0.
Iterar k=0,1,2,\dots:
calcular o denominador (2k+1)^3 e o termo (-1)^k/(2k+1)^3;
acrescentar o termo a S;
calcular a estimativa de \pi por \pi_{\text{est}}=(32\cdot S)^{1/3};
comparar \pi_{\text{est}} com a estimativa anterior; se a diferença absoluta for menor que a tolerância pedida, parar e devolver \pi_{\text{est}}.
Garantir um número máximo de iterações para evitar loop infinito.
Passo 6
Observações práticas e dicas para a prova:
Use variáveis claras: por exemplo, S (soma parcial), k (índice), term (termo atual), pi\_prev (estimativa anterior), pi\_est (estimativa atual).
Para evitar custos de potência repetida, calcule (2k+1) e depois eleve ao cubo com **3.
Tolerância típica: \varepsilon=10^{-12} ou \varepsilon=10^{-10} dependendo da precisão pedida.
Sempre mostre o número de iterações usadas — isso ajuda a avaliar convergência na hora da prova.
Se precisar de uma garantia teórica do erro em S, use a_{N+1} (o próximo termo) como estimativa do erro em S; para a conversão em erro em \pi pode-se usar estimativas por derivada da raiz cúbica, mas para a prova prática o critério de diferença entre estimativas consecutivas é suficiente e simples.
Passo 7
Abaixo está o programa em Python que implementa a ideia explicada. O código recebe uma tolerância e retorna a aproximação de \pi e o número de termos usados.
Resposta
# Aproximação de pi usando a série:# pi = 1/1 - 1/3^3 + 1/5^3 - 1/7^3 + ...# Observação: S = sum_{k=0}^\infty (-1)^k/(2k+1)^3 = pi^3 / 32# Logo pi = (32 * S)^(1/3). Vamos usar somas parciais S_N e checar convergência.import math
defapprox_pi(tol=1e-12, max_iter=10_000_000):
"""
Aproxima pi usando a série alternada dada.
tol: tolerância para a diferença entre estimativas consecutivas de pi.
max_iter: número máximo de iterações (proteção contra loops longos).
Retorna (pi_est, n_terms) onde n_terms é o número de termos somados.
"""
S = 0.0# soma parcial S_N
sign = 1.0# (-1)^k
pi_prev = 0.0# estimativa anterior de pi
k = 0while k < max_iter:
denom = (2 * k + 1) ** 3
term = sign / denom
S += term
# estimativa atual de pi
pi_est = (32.0 * S) ** (1.0 / 3.0)
# critério de parada: diferença entre estimativas consecutivasif k > 0andabs(pi_est - pi_prev) < tol:
return pi_est, k + 1# k+1 termos somados
pi_prev = pi_est
sign = -sign
k += 1# Se chegou aqui, não convergiu dentro de max_iterreturn pi_est, k
if __name__ == "__main__":
pi_approx, terms = approx_pi(tol=1e-12, max_iter=5000000)
print("pi aproximado:", pi_approx)
print("termos usados:", terms)
print("erro absoluto em relação a math.pi:", abs(pi_approx - math.pi))