Um elemento estrutural está solicitado pelas tensões normais \sigma_{\mathrm{x}} e \sigma_{\mathrm{y}} e pela tensão cisalhante \tau_{\mathrm{xy}}. Sabendo-se que \tau_{\mathrm{xy}}=3,0 \mathrm{MPa} e que tensões principais são \sigma_{1}=10,0 \mathrm{MPa} e \sigma_{2}=2,0 \mathrm{MPa}, calcule:
a. O valor das tensões normais \sigma_{x} e \sigma_{y};
b. A tensão de cisalhamento máxima ( \tau_{\text {máx }} ) do plano X O Y.
Resposta:
a. \sigma_{\mathrm{x}}=8,65 \mathrm{MPa} ; \sigma_{\mathrm{y}}=3,35 \mathrm{MPa}\left(\right. ou: \left.\sigma_{\mathrm{x}}=3,35 \mathrm{MPa} ; \sigma_{\mathrm{y}}=8,65 \mathrm{MPa}\right);
b. \tau_{\text {máx }}=4,0 \mathrm{MPa}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) Encontrar as tensões normais \sigma_{x} e \sigma_{y} no plano X O Y.
b) Calcular a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\text{máx}} no plano X O Y.
As informações dadas são:
\tau_{xy}=3,0\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{1}=10,0\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{2}=2,0\\ \mathrm{MPa}.
Passo 2
Vamos escrever a relação entre as tensões no sistema cartesiano (\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}) e as tensões principais \sigma_{1},\sigma_{2}. A fórmula que liga esses valores é:
Também sabemos que a soma \sigma_x+\sigma_y\) é igual a \(\sigma_{1}+\sigma_{2}=12{,}0\\ \mathrm{MPa}\) (porque a média \(\bar{\sigma}=(\sigma_x+\sigma_y)/2\) coincide com \((\sigma_1+\sigma_2)/2\)). Assim temos o sistema linear
\[\begin{cases} \sigma_x+\sigma_y=12{,}0,\\[4pt] \sigma_x-\sigma_y=\pm5{,}2915. \end{cases}
Agora calculamos numericamente as duas possibilidades (a troca de sinal corresponde apenas a trocar qual das direções x e y corresponde à maior tensão):
Expliquei por que há duas respostas: o enunciado não fixa qual direção (x ou y) corresponde à maior tensão principal; matematicamente isso aparece como \pm ao resolver o sistema.
Passo 8
Para a tensão de cisalhamento máxima no plano X O Y usamos a expressão do raio do círculo de Mohr (que já calculamos):