Um elemento estrutural está solicitado pelas tensões normais \sigma_{\mathrm{x}} e \sigma_{\mathrm{y}} e pela tensão cisalhante \tau_{\mathrm{xy}}. Sabendo-se que \tau_{\mathrm{xy}}=3,0 \mathrm{MPa} e que tensões principais são \sigma_{1}=10,0 \mathrm{MPa} e \sigma_{2}=2,0 \mathrm{MPa}, calcule:
a. O valor das tensões normais \sigma_{x} e \sigma_{y};
b. A tensão de cisalhamento máxima ( \tau_{\text {máx }}á ) do plano X O Y.
Resposta:
a. \sigma_{\mathrm{x}}=8,65 \mathrm{MPa} ; \sigma_{\mathrm{y}}=3,35 \mathrm{MPa}\left(\right. ou: \left.\sigma_{\mathrm{x}}=3,35 \mathrm{MPa} ; \sigma_{\mathrm{y}}=8,65 \mathrm{MPa}\right);
b. \tau_{\text {máx }}=4,0 \mathrm{MPa}á.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • a) Encontrar as tensões normais \sigma_{x} e \sigma_{y} no plano X O Y.
  • b) Calcular a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\text{máx}}á no plano X O Y.
As informações dadas são:
\tau_{xy}=3,0\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{1}=10,0\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{2}=2,0\\ \mathrm{MPa}.

Passo 2

Vamos escrever a relação entre as tensões no sistema cartesiano (\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}) e as tensões principais \sigma_{1},\sigma_{2}. A fórmula que liga esses valores é:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
Aqui:
  • \sigma_{1} é a maior tensão principal,
  • \sigma_{2} é a menor tensão principal,
  • \sigma_{x} e \sigma_{y} são as tensões normais nas direções x e y,
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no plano xy.
Essa fórmula vem do círculo de Mohr; geometricamente, o termo dentro da raiz é o quadrado do raio do círculo de Mohr.

Passo 3

Do enunciado conhecemos \sigma_{1} e \sigma_{2}. Primeiro calculamos a soma e a diferença média (média aritmética) das tensões principais:
\sigma_{1}+\sigma_{2}=10,0+2,0=12,0\\ \mathrm{MPa}.
A média das tensões (centro do círculo de Mohr) é
\bar{\sigma}=\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}}{2}=\frac{12,0}{2}=6,0\\ \mathrm{MPa}.
O raio do círculo de Mohr, que também é metade da diferença entre as tensões principais, é
R=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2}=\frac{10,0-2,0}{2}=\frac{8,0}{2}=4,0\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Pela fórmula do Passo 2, o raio também pode ser escrito em termos de \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} como
R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
Isolando o termo com \sigma_x-\sigma_y temos
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2}=R^{2}-\tau_{xy}^{2}.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos conhecidos: R=4,0\\ \mathrm{MPa} e \tau_{xy}=3,0\\ \mathrm{MPa}. Então
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2}=4{,}0^{2}-3{,}0^{2}=16{,}0-9{,}0=7{,}0\\ (\mathrm{MPa})^{2}.
Tomando raiz quadrada:
\left|\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right|=\sqrt{7{,}0}\approx2{,}6458\\ \mathrm{MPa}.
Portanto
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\pm2{,}6458\\ \mathrm{MPa},
e multiplicando por 2:
\sigma_x-\sigma_y=\pm5{,}2915\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Também sabemos que a soma \sigma_x+\sigma_y\) é igual a \(\sigma_{1}+\sigma_{2}=12{,}0\\ \mathrm{MPa}\) (porque a média \(\bar{\sigma}=(\sigma_x+\sigma_y)/2\) coincide com \((\sigma_1+\sigma_2)/2\)). Assim temos o sistema linear \[\begin{cases} \sigma_x+\sigma_y=12{,}0,\\[4pt] \sigma_x-\sigma_y=\pm5{,}2915. \end{cases}
Resolvendo para \sigma_x\] e \(\sigma_y:
\sigma_x=\frac{12{,}0\pm5{,}2915}{2},\qquad \sigma_y=\frac{12{,}0\mp5{,}2915}{2}.]

Passo 7

Agora calculamos numericamente as duas possibilidades (a troca de sinal corresponde apenas a trocar qual das direções x e y corresponde à maior tensão):
Caso sinal positivo:
\sigma_x=\frac{12{,}0+5{,}2915}{2}=\frac{17{,}2915}{2}=8{,}64575\\ \mathrm{MPa}\approx8{,}65\\ \mathrm{MPa},
\sigma_y=\frac{12{,}0-5{,}2915}{2}=\frac{6{,}7085}{2}=3{,}35425\\ \mathrm{MPa}\approx3{,}35\\ \mathrm{MPa}.
Caso sinal negativo (troca x\leftrightarrow y):
\sigma_x\approx3{,}35\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_y\approx8{,}65\\ \mathrm{MPa}.
Expliquei por que há duas respostas: o enunciado não fixa qual direção ( x ou y) corresponde à maior tensão principal; matematicamente isso aparece como \pm ao resolver o sistema.

Passo 8

Para a tensão de cisalhamento máxima no plano X O Y usamos a expressão do raio do círculo de Mohr (que já calculamos):
\tau_{\text{máx}}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.á
Mas vimos no Passo 3 que esse valor é exatamente R, que foi obtido por \displaystyle R=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}=4{,}0\\ \mathrm{MPa}. Logo
\tau_{\text{máx}}=4{,}0\\ \mathrm{MPa}.á

Resposta

a. \sigma_{\mathrm{x}}=8{,}65\\ \mathrm{MPa};\\ \sigma_{\mathrm{y}}=3{,}35\\ \mathrm{MPa} (ou: \sigma_{\mathrm{x}}=3{,}35\\ \mathrm{MPa};\\ \sigma_{\mathrm{y}}=8{,}65\\ \mathrm{MPa}).
b. \tau_{\text{máx}}=4{,}0\\ \mathrm{MPa}á.

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