Um reservatório de aço em forma de cilindro deve ser construído, para armazenamento de água.
O aço utilizado tem resistências admissíveis normal e ao cisalhamento de 100 MPa e 30 MPa , respectivamente.
A altura total do reservatório deve ser 12 m e seu diâmetro deve ser 6 m .
O peso específico do aço é 78,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}.
O peso específico da água é 10 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}.
( 20 \% ) Qual deve ser a espessura mínima do reservatório para que opere à capacidade máxima?
a. 4 mm
b. 6 mm
c. 8 mm
d. 12 mm
e. Nenhuma das respostas.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a espessura mínima do cilindro de aço (reservatório vertical) para operar cheio (capacidade máxima).
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{altura do reservatório: } H = 12\\ \mathrm{m},\\\ &\text{diâmetro: } D = 6\\ \mathrm{m}\\ \Rightarrow\\ \text{raio: } r = 3\\ \mathrm{m},\\\ &\text{resistência admissível normal do aço: } \sigma_{\text{adm}} = 100\\ \mathrm{MPa},\\\ &\text{resistência admissível ao cisalhamento: } \tau_{\text{adm}} = 30\\ \mathrm{MPa},\\\ &\text{peso específico do aço: } \gamma_{\text{aço}} = 78{,}5\\ \mathrm{kN/m^3},\\\ &\text{peso específico da água: } \gamma_{\text{água}} = 10\\ \mathrm{kN/m^3}. \end{aligned}óâêíçêííççíáá
Pergunta: qual a espessura mínima t para que o reservatório opere cheio? (Opções: a. 4 mm, b. 6 mm, c. 8 mm, d. 12 mm, e. Nenhuma das respostas.)

Passo 2

Entender a carga que provoca tensão na parede: a água exerce pressão hidrostática que varia com a profundidade. A maior pressão ocorre no fundo e é dada por
p_{\text{fundo}} = \gamma_{\text{água}} \, H.á
Aqui \gamma_{\text{água}}á é o peso específico da água (força por volume) e H é a altura da coluna de água. Substituindo:
p_{\text{fundo}} = 10\\ \mathrm{kN/m^3} \times 12\\ \mathrm{m} = 120\\ \mathrm{kN/m^2}.
Convém expressar essa pressão em megapascais (MPa): 1\\ \mathrm{kN/m^2}=1\\ \mathrm{Pa} e 1\\ \mathrm{MPa}=10^6\\ \mathrm{Pa}=1000\\ \mathrm{kN/m^2}. Logo
p_{\text{fundo}} = 120\\ \mathrm{kN/m^2} = 0{,}120\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Nós precisamos relacionar a pressão interna p com a tensão na parede do cilindro. Para um cilindro fino submetido a pressão interna usam-se duas tensões membranares principais:
  • tensão circunferencial (hoop, ou tangencial) \sigma_{\theta},
  • tensão longitudinal \sigma_{L}.
A fórmula clássica (obtida por equilíbrio de forças num meio cilindro) é:
\sigma_{\theta} = \frac{p\, r}{t}, \qquad \sigma_{L} = \frac{p\, r}{2t},
onde:
  • p é a pressão interna atuando (aqui utilizamos a maior pressão, no fundo), em \mathrm{MPa},
  • r é o raio interno do cilindro, em \mathrm{m},
  • t é a espessura da parede, em \mathrm{m},
  • \sigma_{\theta} e \sigma_{L} são tensões normais (tração) em \mathrm{MPa}.
Breve derivação física (intuição): se cortarmos o cilindro longitudinalmente e isolarmos meia-casca de comprimento L, a força resultante da pressão que tende a “abrir” a casca é equilibrada pela tensão nas faces cortadas; ao fazer o balanço das forças obtém-se \sigma_{\theta} = p r / t. A tensão circunferencial é o dobro da longitudinal, logo normalmente \sigma_{\theta} é a que controla o projeto.

Passo 4

Aplicar a fórmula de \sigma_{\theta} para encontrar t tal que \sigma_{\theta} não ultrapasse a resistência admissível \sigma_{\text{adm}} = 100\\ \mathrm{MPa}. Rearranjando:
t = \frac{p\, r}{\sigma_{\text{adm}}}.
Agora substituímos p = p_{\text{fundo}} = 0{,}120\\ \mathrm{MPa} e r = 3\\ \mathrm{m}:
t = \frac{0{,}120\\ \mathrm{MPa} \times 3\\ \mathrm{m}}{100\\ \mathrm{MPa}}.
Calcule passo a passo:
0{,}120 \times 3 = 0{,}360.
t = \frac{0{,}360}{100} = 0{,}00360\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros:
t = 0{,}00360\\ \mathrm{m} = 3{,}60\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Interpretação: o cálculo deu t=3{,}60\\ \mathrm{mm}. Como a espessura deve ser prática e normalmente tomada por um padrão comercial, escolhemos a próxima espessura padrão maior ou igual ao valor calculado. Entre as alternativas dadas, a menor espessura disponível que seja maior que 3{,}60\\ \mathrm{mm} é 4\\ \mathrm{mm} (opção a).

Passo 6

Verificações adicionais que devemos checar (para garantir que nada mais obriga espessura maior):
  1. tensão longitudinal:
\sigma_{L}=\frac{p\, r}{2t}.
Se usarmos t=0{,}00360\\ \mathrm{m}, teremos
\sigma_{L}=\frac{0{,}120\times 3}{2\times 0{,}00360}=\frac{0{,}360}{0{,}00720}=50\\ \mathrm{MPa},
que é menor que \sigma_{\text{adm}}=100\\ \mathrm{MPa}. Logo a tensão longitudinal não controla.
  1. verificação da condição de casca fina: para hipóteses do modelo de casca fina costuma-se exigir r/t \gtrsim 10. Aqui, com t\approx 3{,}6\\ \mathrm{mm},
\frac{r}{t}=\frac{3{,}0\\ \mathrm{m}}{0{,}00360\\ \mathrm{m}} \approx 833,
muito maior que 10, então a hipótese de parede fina é bem válida.
  1. cisalhamento: não há um esforço cortante membranar gerador maior que a resistência ao cisalhamento nas paredes por pressão interna uniforme; o controle principal é tração (normal). Assim, o valor \tau_{\text{adm}}=30\\ \mathrm{MPa} não é crítico aqui.
  2. peso próprio do aço: o peso próprio do revestimento causa tensões adicionais muito pequenas comparadas às pressões aqui consideradas (espessura pequena). Mesmo se considerado, não alteraria a ordem de grandeza nem exigiria espessura maior que as opções fornecidas.
Portanto a espessura calculada é válida e a próxima espessura prática é 4\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Conclusão do raciocínio: a espessura mínima calculada pela verificação da tensão circunferencial admissível é 3{,}60\\ \mathrm{mm}. Entre as opções oferecidas a espessura segura e mínima é 4\\ \mathrm{mm} (opção a).

Resposta

a. 4 mm

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