Um reservatório de aço em forma de cilindro deve ser construído, para armazenamento de água.
O aço utilizado tem resistências admissíveis normal e ao cisalhamento de 100 MPa e 30 MPa , respectivamente.
A altura total do reservatório deve ser 12 m e seu diâmetro deve ser 6 m .
O peso específico do aço é
.
O peso específico da água é
.
(
) Qual deve ser a espessura mínima do reservatório para que opere à capacidade máxima?
a. 4 mm
b. 6 mm
c. 8 mm
d. 12 mm
e. Nenhuma das respostas.
O aço utilizado tem resistências admissíveis normal e ao cisalhamento de 100 MPa e 30 MPa , respectivamente.
A altura total do reservatório deve ser 12 m e seu diâmetro deve ser 6 m .
O peso específico do aço é
O peso específico da água é
(
a. 4 mm
b. 6 mm
c. 8 mm
d. 12 mm
e. Nenhuma das respostas.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a espessura mínima do cilindro de aço (reservatório vertical) para operar cheio (capacidade máxima).
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Pergunta: qual a espessura mínima
para que o reservatório opere cheio? (Opções: a. 4 mm, b. 6 mm, c. 8 mm, d. 12 mm, e. Nenhuma das respostas.)
Passo 2
Entender a carga que provoca tensão na parede: a água exerce pressão hidrostática que varia com a profundidade. A maior pressão ocorre no fundo e é dada por
Aqui
é o peso específico da água (força por volume) e
é a altura da coluna de água. Substituindo:
Convém expressar essa pressão em megapascais (MPa):
e
. Logo
Passo 3
Nós precisamos relacionar a pressão interna
com a tensão na parede do cilindro. Para um cilindro fino submetido a pressão interna usam-se duas tensões membranares principais:
- tensão circunferencial (hoop, ou tangencial)
, - tensão longitudinal
.
A fórmula clássica (obtida por equilíbrio de forças num meio cilindro) é:
onde:
-
é a pressão interna atuando (aqui utilizamos a maior pressão, no fundo), em , -
é o raio interno do cilindro, em , -
é a espessura da parede, em , -
e são tensões normais (tração) em .
Breve derivação física (intuição): se cortarmos o cilindro longitudinalmente e isolarmos meia-casca de comprimento
, a força resultante da pressão que tende a “abrir” a casca é equilibrada pela tensão nas faces cortadas; ao fazer o balanço das forças obtém-se
. A tensão circunferencial é o dobro da longitudinal, logo normalmente
é a que controla o projeto.
Passo 4
Aplicar a fórmula de
para encontrar
tal que
não ultrapasse a resistência admissível
. Rearranjando:
Agora substituímos
e
:
Calcule passo a passo:
Converter para milímetros:
Passo 5
Interpretação: o cálculo deu
. Como a espessura deve ser prática e normalmente tomada por um padrão comercial, escolhemos a próxima espessura padrão maior ou igual ao valor calculado. Entre as alternativas dadas, a menor espessura disponível que seja maior que
é
(opção a).
Passo 6
Verificações adicionais que devemos checar (para garantir que nada mais obriga espessura maior):
- tensão longitudinal:
Se usarmos
, teremos
que é menor que
. Logo a tensão longitudinal não controla.
- verificação da condição de casca fina: para hipóteses do modelo de casca fina costuma-se exigir
. Aqui, com ,
muito maior que 10, então a hipótese de parede fina é bem válida.
-
cisalhamento: não há um esforço cortante membranar gerador maior que a resistência ao cisalhamento nas paredes por pressão interna uniforme; o controle principal é tração (normal). Assim, o valor
não é crítico aqui. -
peso próprio do aço: o peso próprio do revestimento causa tensões adicionais muito pequenas comparadas às pressões aqui consideradas (espessura pequena). Mesmo se considerado, não alteraria a ordem de grandeza nem exigiria espessura maior que as opções fornecidas.
Portanto a espessura calculada é válida e a próxima espessura prática é
.
Passo 7
Conclusão do raciocínio: a espessura mínima calculada pela verificação da tensão circunferencial admissível é
. Entre as opções oferecidas a espessura segura e mínima é
(opção a).
Resposta
a. 4 mm