Calcule Q_{0} e \zeta para uma rede R L C paralela simples, se R=1 \Omega, C=10 \mathrm{mF} e L=1 \mathrm{H};

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fator de qualidade não carregado Q_{0} e a razão de amortecimento \zeta de um circuito RLC paralelo simples com os valores
\;R=1\\ \Omega, \;C=10\\ \mathrm{mF} e \;L=1\\ \mathrm{H}.
O conteúdo que vamos usar é análise de circuitos de segunda ordem: forma padrão da equação diferencial, identificação da frequência natural \omega_{0}, do fator de amortecimento \alpha, e as relações
\zeta=\alpha/\omega_{0} e Q_{0}=1/(2\zeta).

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial para a tensão v(t) no paralelo RLC, temos
\frac{d^2v}{dt^2} + \frac{1}{RC}\,\frac{dv}{dt} + \frac{1}{LC}\,v = 0
Da comparação com
\frac{d^2v}{dt^2} + 2\alpha\,\frac{dv}{dt} + \omega_{0}^{2}\,v = 0
identificamos
2\alpha = \frac{1}{RC} \quad\text{e}\quad \omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}.

Passo 3

Calculando a frequência natural \omega_{0}:
\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{L\,C}} = \frac{1}{\sqrt{1\cdot 10\times10^{-3}}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}01}} = 10\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calculando o fator de amortecimento \alpha:
2\alpha = \frac{1}{R\,C} = \frac{1}{1\cdot 10\times10^{-3}} = 100\\ \mathrm{s^{-1}},
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\alpha = 50\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Usando \zeta = \alpha/\omega_{0} e Q_{0}=1/(2\zeta) (ou equivalentemente Q_{0}=R\sqrt{C/L}), temos
\zeta = \frac{\alpha}{\omega_{0}} = \frac{50}{10} = 5,
Q_{0} = \frac{1}{2\zeta} = \frac{1}{2\cdot 5} = 0{,}1.

Resposta

Q_{0}=0{,}1
\zeta=5

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